Номер 18, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

18. Каждые две из трех прямых пересекаются. Определите, сколько имеется точек пересечения, учитывая, что прямые не принадлежат одной плоскости.

Обозначим три прямые как $a$, $b$ и $c$.

Рассмотрим прямые $a$ и $b$. По условию, они пересекаются. Две пересекающиеся прямые однозначно определяют плоскость. Назовем эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим прямую $c$. По условию, все три прямые не принадлежат одной плоскости. Это означает, что прямая $c$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Из условия задачи мы знаем, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке, назовем ее $M$. Также прямая $c$ пересекает прямую $b$ в некоторой точке, назовем ее $N$.

Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка ее пересечения с прямой $c$, точка $M$, также должна принадлежать плоскости $\alpha$. Аналогично, поскольку прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка ее пересечения с прямой $c$, точка $N$, также должна принадлежать плоскости $\alpha$.

Таким образом, две точки $M$ и $N$ прямой $c$ принадлежат плоскости $\alpha$. Согласно аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Это означало бы, что прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$.

Однако это противоречит условию, что три прямые не принадлежат одной плоскости. Единственный способ разрешить это противоречие — это предположить, что точки $M$ и $N$ на самом деле совпадают, то есть являются одной и той же точкой.

Пусть $M = N = P$. Это означает, что прямая $c$ пересекает обе прямые $a$ и $b$ в одной и той же точке $P$. Поскольку прямые $a$ и $b$ также должны пересекаться между собой, их точкой пересечения может быть только эта общая точка $P$.

Следовательно, все три прямые пересекаются в одной единственной точке. Такая конфигурация возможна, например, три оси координат в пространстве.

Ответ: 1