Номер 19, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

19. Через каждые две из четырех отмеченных точек проведена прямая. Определите, как расположены отмеченные точки, учитывая, что проведенные прямые пересекаются в:

а) четырех точках;

б) пяти точках;

в) шести точках.

Пусть даны четыре точки. Количество прямых, которые можно провести через пары этих точек, и количество точек пересечения этих прямых зависят от взаимного расположения исходных четырех точек. Максимальное число различных прямых равно $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$, что достигается, когда никакие три точки не лежат на одной прямой. Рассмотрим различные конфигурации точек для каждого из заданных условий.

Чтобы общее число точек пересечения было равно четырем, необходимо, чтобы точки пересечения совпадали с исходными четырьмя точками. Такой случай реализуется, когда три из четырех точек (назовем их A, B, C) лежат на одной прямой $l$, а четвертая точка D не лежит на этой прямой. В этом случае мы можем провести следующие различные прямые:
1. Прямая $l$, проходящая через точки A, B, C.
2. Прямая AD.
3. Прямая BD.
4. Прямая CD.
Всего получается 4 различные прямые. Найдем их точки пересечения:
- Прямые AD, BD и CD пересекаются в одной точке D.
- Прямая $l$ пересекает прямую AD в точке A.
- Прямая $l$ пересекает прямую BD в точке B.
- Прямая $l$ пересекает прямую CD в точке C.
Других точек пересечения нет. Таким образом, множество всех точек пересечения — это {A, B, C, D}, и их общее количество равно четырем.

Ответ: Три из четырех точек лежат на одной прямой, а четвертая точка не лежит на этой прямой.

Чтобы получить 5 точек пересечения, рассмотрим случай, когда никакие три точки не коллинеарны. Пусть точки A, B, C, D являются вершинами четырехугольника. Через них проходят 6 прямых: 4 стороны и 2 диагонали. Точками пересечения всегда являются как минимум 4 исходные точки (вершины) и точка пересечения диагоналей. Это уже 5 точек. Чтобы точек пересечения было ровно 5, необходимо, чтобы других точек пересечения (а именно, от пересечения противоположных сторон) не было. Это возможно только в том случае, если обе пары противоположных сторон параллельны, то есть четырехугольник является параллелограммом. В этом случае точками пересечения будут:
- 4 вершины параллелограмма (A, B, C, D).
- 1 точка пересечения диагоналей (AC ∩ BD).
Итого: $4 + 1 = 5$ точек пересечения.

Ответ: Четыре точки являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим случай, когда никакие три точки не коллинеарны, и они образуют вершины четырехугольника A, B, C, D. Через них можно провести 6 различных прямых. Чтобы получить 6 точек пересечения, к 5 точкам, существующим в случае параллелограмма (4 вершины и точка пересечения диагоналей), должна добавиться еще одна. Эта дополнительная точка может возникнуть только от пересечения одной пары противоположных сторон. Это означает, что одна пара противоположных сторон должна пересекаться, а другая — нет (то есть быть параллельной).Пусть стороны AB и CD параллельны (не пересекаются), а стороны AD и BC не параллельны и пересекаются в некоторой точке F. Фигура с одной парой параллельных сторон является трапецией (не являющейся параллелограммом).Точками пересечения в этом случае будут:
- 4 вершины трапеции (A, B, C, D).
- 1 точка пересечения диагоналей (AC ∩ BD).
- 1 точка пересечения непараллельных сторон (AD ∩ BC).
Итого: $4 + 1 + 1 = 6$ точек пересечения.

Ответ: Четыре точки являются вершинами трапеции, у которой только одна пара сторон параллельна.