Номер 16, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

16. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде боковое ребро равно 5 см, ребра оснований — 2 см и 8 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей этой пирамиды.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдем периметры оснований. Основаниями являются правильные шестиугольники со сторонами $a_1 = 8$ см и $a_2 = 2$ см.

Периметр большего основания: $P_1 = 6 \cdot a_1 = 6 \cdot 8 = 48$ см.

Периметр меньшего основания: $P_2 = 6 \cdot a_2 = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Далее найдем апофему $h_a$. Боковая грань представляет собой равнобокую трапецию с основаниями $a_1 = 8$ см, $a_2 = 2$ см и боковой стороной (ребром пирамиды) $l = 5$ см. Высоту этой трапеции ($h_a$) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $l$, апофемой $h_a$ и отрезком, равным полуразности оснований трапеции. Длина этого отрезка равна $\frac{a_1 - a_2}{2}$.

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3$ см.

По теореме Пифагора $l^2 = h_a^2 + (\frac{a_1 - a_2}{2})^2$, откуда:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a_1 - a_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(48 + 12) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 4 = 120$ см².

Ответ: $120$ см².

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований: $S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2$.

Площадь боковой поверхности уже найдена: $S_{бок} = 120$ см². Найдем площади оснований. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Площадь большего основания ($S_1$):

$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 64 = 96\sqrt{3}$ см².

Площадь меньшего основания ($S_2$):

$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см².

Теперь вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2 = 120 + 96\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 120 + 102\sqrt{3}$ см².

Ответ: $120 + 102\sqrt{3}$ см².