Номер 10, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

10. Найдите полную поверхность прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 10 и 24, учитывая данные, указанные на рисунке 4.

$45^\circ$

Рис. 4

Полная поверхность прямой призмы вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основание призмы — ромб с диагоналями $d_1 = 10$ и $d_2 = 24$. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$

Найдем сторону основания ($a$) и высоту призмы ($h$).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны половинам диагоналей: $\frac{10}{2}=5$ и $\frac{24}{2}=12$. Сторона ромба $a$ является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора:

$a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Призма является прямой, следовательно, ее боковые грани — прямоугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Из рисунка видно, что диагональ боковой грани образует с ребром верхнего основания угол 45°. Эта диагональ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются сторона основания $a$ и высота призмы $h$.

Так как один из острых углов этого прямоугольного треугольника равен 45°, то он является равнобедренным, и его катеты равны:

$h = a = 13$

Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$. Периметр ромба $P_{осн} = 4a$.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4a) \cdot h = (4 \cdot 13) \cdot 13 = 52 \cdot 13 = 676$

Найдем полную поверхность призмы ($S_{полн}$).

Теперь, зная площади основания и боковой поверхности, мы можем найти полную поверхность призмы:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 676 = 240 + 676 = 916$

Ответ: 916.