Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

7. В правильной шестиугольной призме боковое ребро равно ребру основания. Найдите площадь полной поверхности призмы, учитывая, что ее боковая поверхность равна $216 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и двух площадей основания ($S_{осн}$):

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

По условию задачи, площадь боковой поверхности известна: $S_{бок} = 216$ см².

Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы состоит из шести одинаковых прямоугольников. Площадь боковой поверхности также можно найти по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

Пусть ребро основания равно $a$. Так как основание — правильный шестиугольник, его периметр $P_{осн} = 6a$.

По условию, боковое ребро равно ребру основания. В правильной призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h = a$.

Подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = (6a) \cdot a = 6a^2$

Теперь мы можем найти длину ребра $a$, используя известное значение $S_{бок}$:

$6a^2 = 216$

$a^2 = \frac{216}{6}$

$a^2 = 36$

$a = \sqrt{36} = 6$ см.

Далее найдем площадь основания ($S_{осн}$). Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь шестиугольного основания:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 6$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 18 \cdot \sqrt{3} = 54\sqrt{3}$ см².

Наконец, вычислим площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 216 + 2 \cdot 54\sqrt{3} = 216 + 108\sqrt{3}$ см².

Ответ: $216 + 108\sqrt{3}$ см².