Номер 2, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

2. Каждая грань многогранника является параллелограммом. На рисунке 1 изображен такой невыпуклый многогранник, отличный от параллелепипеда. Сколько у этого многогранника:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней?

Рис. 1

Для определения количества вершин, ребер и граней у изображенного многогранника, необходимо последовательно и внимательно посчитать каждый из этих элементов.

а) вершин;

Вершины — это точки, в которых сходятся ребра многогранника. Подсчитаем их, условно разделив фигуру на три уровня:

• Верхний уровень: 4 вершины, которые образуют верхнюю грань (параллелограмм).
• Средний уровень: 4 вершины, расположенные на "изгибе" многогранника.
• Нижний уровень: 4 вершины, которые образуют нижнюю грань.

Общее количество вершин равно сумме вершин на всех уровнях:

$4 + 4 + 4 = 12$

Ответ: 12 вершин.

б) ребер;

Ребра — это отрезки, соединяющие вершины. Их можно посчитать, сгруппировав по расположению:

• Ребра на верхней и нижней гранях: 4 ребра на верхней грани и 4 на нижней. Всего $4 + 4 = 8$ ребер.
• Ребра, образующие средний "пояс": 4 ребра.
• "Наклонные" ребра, соединяющие уровни: 4 ребра соединяют вершины верхнего уровня со средним, и еще 4 ребра соединяют вершины среднего уровня с нижним. Всего $4 + 4 = 8$ ребер.

Сложим количество ребер во всех группах:

$8 + 4 + 8 = 20$

Ответ: 20 ребер.

в) граней?

Грани — это плоские многоугольники (в данном случае параллелограммы), из которых состоит поверхность многогранника.

• Верхняя и нижняя грани: 1 верхняя и 1 нижняя. Всего 2 грани.
• Боковые грани: многогранник имеет 4 боковые грани в верхней части (между верхним и средним уровнем) и 4 боковые грани в нижней части (между средним и нижним уровнем). Всего $4 + 4 = 8$ боковых граней.

Общее количество граней равно:

$2 + 8 = 10$

Для проверки правильности подсчетов можно применить формулу Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число ребер, $Г$ — число граней.

Подставим найденные значения:

$12 - 20 + 10 = -8 + 10 = 2$

Равенство выполняется, следовательно, подсчеты верны.

Ответ: 10 граней.