Номер 3, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

3. На рисунке 2 изображен выпуклый многогранник, отличный от параллелепипеда, каждая грань которого является параллелограммом. Сколько у этого многогранника:

а) вершин;

б) ребер;

в) граней?

Рис. 2

Данный многогранник является параллелоэдром, а именно ромбододекаэдром. Подсчитаем количество его вершин, ребер и граней, основываясь на изображении и свойствах многогранников.

а) вершин;

Вершины многогранника – это точки, в которых сходятся его ребра. Посчитаем их, двигаясь сверху вниз по рисунку:

• 1 самая верхняя вершина.
• 3 вершины на верхнем "поясе".
• 6 вершин на центральном "экваториальном" поясе.
• 3 вершины на нижнем "поясе".
• 1 самая нижняя вершина.

Общее количество вершин (В) равно сумме: $В = 1 + 3 + 6 + 3 + 1 = 14$.

Ответ: 14 вершин.

б) ребер;

Ребра – это отрезки, соединяющие вершины. Их можно посчитать напрямую, но удобнее воспользоваться теоремой о сумме степеней вершин, которая гласит, что сумма степеней всех вершин многогранника равна удвоенному числу его ребер ($2Р$). Степень вершины – это количество ребер, сходящихся в ней.

У данного многогранника есть вершины двух типов:

• Вершины, в которых сходятся 3 ребра (степень 3). Таких вершин 8 (самая верхняя, самая нижняя и 6 вершин на экваторе).
• Вершины, в которых сходятся 4 ребра (степень 4). Таких вершин 6 (3 на верхнем поясе и 3 на нижнем).

Сумма степеней всех вершин: $S = 8 \cdot 3 + 6 \cdot 4 = 24 + 24 = 48$.

Число ребер (Р) равно: $Р = S / 2 = 48 / 2 = 24$.

Ответ: 24 ребра.

в) граней?

Грани – это плоские многоугольники (в данном случае параллелограммы), из которых состоит поверхность многогранника. Визуально разделим многогранник на три части:

• Верхняя часть ("крышка") состоит из 3 параллелограммов, сходящихся в верхней вершине.
• Центральная часть ("пояс") состоит из 6 параллелограммов.
• Нижняя часть ("основание") состоит из 3 параллелограммов, сходящихся в нижней вершине.

Общее количество граней (Г) равно: $Г = 3 + 6 + 3 = 12$.

Для проверки можно использовать теорему Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$.
Подставим наши значения: $14 - 24 + 12 = -10 + 12 = 2$.
Равенство выполняется, значит, наши расчеты верны.

Ответ: 12 граней.