Номер 4, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

4. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ измерения $AB, AD, AA_1$ соответственно равны 4, 5 и 12. Найдите длину пространственной ломаной $AB_1C_1BA_1D_1CC_1DA$.

Для нахождения длины пространственной ломаной $AB_1C_1BA_1D_1CC_1DA$ необходимо сложить длины всех ее составляющих отрезков: $AB_1$, $B_1C_1$, $C_1B$, $BA_1$, $A_1D_1$, $D_1C$, $CC_1$, $C_1D$ и $DA$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны измерения: длина $AB=4$, ширина $AD=5$ и высота $AA_1=12$.

Длины ребер, параллельных осям, равны:

$AB = DC = A_1B_1 = D_1C_1 = 4$

$AD = BC = A_1D_1 = B_1C_1 = 5$

$AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 12$

Теперь последовательно вычислим длины каждого отрезка ломаной.

1. Длина отрезка $AB_1$. Этот отрезок является диагональю грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ — это прямоугольник со сторонами $AB=4$ и $AA_1=12$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$.

2. Длина отрезка $B_1C_1$. Это ребро параллелепипеда.
$B_1C_1 = AD = 5$.

3. Длина отрезка $C_1B$. Этот отрезок является диагональю грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ — это прямоугольник со сторонами $BC=5$ и $BB_1=12$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$C_1B = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

4. Длина отрезка $BA_1$. Этот отрезок также является диагональю грани $ABB_1A_1$.
$BA_1 = AB_1 = 4\sqrt{10}$.

5. Длина отрезка $A_1D_1$. Это ребро параллелепипеда.
$A_1D_1 = AD = 5$.

6. Длина отрезка $D_1C$. Этот отрезок является диагональю грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ — это прямоугольник со сторонами $DC=4$ и $DD_1=12$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$:
$D_1C = \sqrt{DC^2 + DD_1^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.

7. Длина отрезка $CC_1$. Это ребро параллелепипеда.
$CC_1 = AA_1 = 12$.

8. Длина отрезка $C_1D$. Это тот же отрезок, что и $D_1C$.
$C_1D = D_1C = 4\sqrt{10}$.

9. Длина отрезка $DA$. Это ребро параллелепипеда.
$DA = AD = 5$.

Теперь сложим длины всех отрезков, чтобы найти общую длину ломаной $L$:
$L = AB_1 + B_1C_1 + C_1B + BA_1 + A_1D_1 + D_1C + CC_1 + C_1D + DA$
$L = 4\sqrt{10} + 5 + 13 + 4\sqrt{10} + 5 + 4\sqrt{10} + 12 + 4\sqrt{10} + 5$.

Сгруппируем слагаемые для упрощения вычислений:
$L = (4\sqrt{10} + 4\sqrt{10} + 4\sqrt{10} + 4\sqrt{10}) + (5 + 13 + 5 + 12 + 5)$
$L = 16\sqrt{10} + 40$.

Ответ: $40 + 16\sqrt{10}$.