Номер 5, страница 4 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

5. В прямой призме $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ все ребра имеют длину 6 см. Найдите длину пространственной ломаной $ABC_1 D_1 B_1 A_1 DCA$, учитывая, что $\angle ABC = 120^\circ$.

Для нахождения длины пространственной ломаной $ABC_1D_1B_1A_1DCA$ необходимо вычислить и сложить длины всех ее звеньев:$L = AB + BC_1 + C_1D_1 + D_1B_1 + B_1A_1 + A_1D + DC + CA$.

1. Анализ геометрической фигуры и длин ребер

Призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая, значит, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Все ребра призмы равны 6 см. Это означает, что стороны оснований ($AB=BC=CD=DA=6$ см) и боковые ребра ($AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=6$ см) равны 6 см. Основание $ABCD$ — ромб со стороной 6 см, так как все его стороны равны. Боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и т.д.) являются прямоугольниками. Поскольку их смежные стороны (сторона основания и боковое ребро) равны 6 см, то все боковые грани — квадраты.

2. Вычисление длин звеньев ломаной

Найдем длину каждого звена:

• $AB$, $C_1D_1$, $B_1A_1$, $DC$ — это ребра призмы. Их длина по условию равна 6 см.$AB = 6$ см$C_1D_1 = 6$ см$B_1A_1 = 6$ см$DC = 6$ см
• $BC_1$ — диагональ боковой грани $BCC_1B_1$, которая является квадратом со стороной 6 см. По теореме Пифагора для $\triangle BCC_1$:$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.
• $D_1B_1$ — диагональ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Основание — ромб, равный $ABCD$. Угол $\angle A_1B_1C_1 = \angle ABC = 120^\circ$. Смежный с ним угол $\angle B_1C_1D_1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Рассмотрим $\triangle B_1C_1D_1$. Он равнобедренный ($B_1C_1=C_1D_1=6$ см) с углом 60° между равными сторонами, следовательно, он равносторонний.$D_1B_1 = 6$ см.
• $A_1D$ — диагональ боковой грани $ADD_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 6 см.$A_1D = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.
• $CA$ — диагональ нижнего основания $ABCD$. Рассмотрим $\triangle ABC$. По теореме косинусов:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$$AC^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-0.5) = 72 + 36 = 108$$AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Суммирование длин звеньев

Теперь сложим длины всех звеньев, чтобы найти общую длину ломаной:$L = AB + BC_1 + C_1D_1 + D_1B_1 + B_1A_1 + A_1D + DC + CA$$L = 6 + 6\sqrt{2} + 6 + 6 + 6 + 6\sqrt{2} + 6 + 6\sqrt{3}$Сгруппируем слагаемые:$L = (6+6+6+6+6) + (6\sqrt{2}+6\sqrt{2}) + 6\sqrt{3}$$L = 30 + 12\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $30 + 12\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$ см.