Номер 8, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

8. Точки $M, N, K, L, M_1, N_1, K_1, L_1$ выбраны на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так, что

$AM : MB = A_1M_1 : M_1B_1 = BN : NC = B_1N_1 : N_1C_1 = CK : KD = C_1K_1 : K_1D_1 = DL : LA = D_1L_1 : L_1A_1 = 3 : 4.$

Найдите длину пространственной ломаной $MM_1N_1NKK_1L_1LM$, учитывая, что ребро куба равно 14 см.

Для решения задачи сначала найдем длины отрезков, на которые точки делят ребра куба.

Длина ребра куба $a = 14$ см. Все указанные точки делят соответствующие ребра в отношении $3:4$. Сумма частей равна $3+4=7$.

Таким образом, длины отрезков на каждом ребре будут:

• Длина меньшего отрезка: $\frac{3}{7} \cdot 14 = 6$ см.
• Длина большего отрезка: $\frac{4}{7} \cdot 14 = 8$ см.

Исходя из условия, получаем:

• $AM = A_1M_1 = BN = B_1N_1 = CK = C_1K_1 = DL = D_1L_1 = 6$ см.
• $MB = M_1B_1 = NC = N_1C_1 = KD = K_1D_1 = LA = L_1A_1 = 8$ см.

Длина пространственной ломаной $MM_1N_1NKK_1L_1LM$ равна сумме длин ее звеньев: $L = MM_1 + M_1N_1 + N_1N + NK + KK_1 + K_1L_1 + L_1L + LM$.

Разобьем звенья ломаной на две группы для удобства вычислений.

1. Звенья, параллельные боковым ребрам куба.

Это звенья $MM_1$, $N_1N$, $KK_1$, $L_1L$.
Точки $M$ и $M_1$ лежат на ребрах $AB$ и $A_1B_1$ и делят их в одинаковом отношении. Прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны, а $AA_1$ и $BB_1$ перпендикулярны им. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ — квадрат, а отрезок $MM_1$ параллелен боковым ребрам $AA_1$ и $BB_1$ и равен им по длине. Длина $MM_1$ равна длине ребра куба.

Аналогично для остальных пар точек: $N$ и $N_1$, $K$ и $K_1$, $L$ и $L_1$.

$MM_1 = N_1N = KK_1 = L_1L = 14$ см.

Сумма длин этих звеньев: $4 \cdot 14 = 56$ см.

2. Звенья, лежащие на гранях куба.

Это звенья $M_1N_1$, $NK$, $K_1L_1$, $LM$.
Рассмотрим звено $NK$. Точка $N$ лежит на ребре $BC$, а точка $K$ — на ребре $CD$. В плоскости основания $ABCD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $NCK$ (угол $C$ прямой).

Катеты этого треугольника: $NC = 8$ см и $CK = 6$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $NK$:

$NK = \sqrt{NC^2 + CK^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

В силу симметрии и одинаковых отношений деления ребер, все остальные звенья этой группы будут иметь такую же длину. Проверим:

• $M_1N_1$: $\triangle M_1B_1N_1$ (прямоугольный), катеты $M_1B_1=8$ см, $B_1N_1=6$ см. $M_1N_1 = 10$ см.
• $K_1L_1$: $\triangle K_1D_1L_1$ (прямоугольный), катеты $K_1D_1=8$ см, $D_1L_1=6$ см. $K_1L_1 = 10$ см.
• $LM$: $\triangle LAM$ (прямоугольный), катеты $LA=8$ см, $AM=6$ см. $LM = 10$ см.

Таким образом, $M_1N_1 = NK = K_1L_1 = LM = 10$ см.

Сумма длин этих звеньев: $4 \cdot 10 = 40$ см.

3. Общая длина ломаной.

Сложим длины обеих групп звеньев:

$L = 56 + 40 = 96$ см.

Ответ: 96 см.