Номер 13, страница 5 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

13. Найдите полную поверхность правильной призмы по данным, указанным на рисунке:

а) 6;

$\frac{8}{\sqrt{3}}$

$30^\circ$

Рис. 6

б) 7.

$8\sqrt{3}$

$45^\circ$

Рис. 7

а)

Полная поверхность правильной призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ - площадь основания. Призма на рис. 6 является правильной четырехугольной призмой, следовательно, в ее основании лежит квадрат. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы как $h$.

На рисунке показана диагональ призмы $d_{п} = 8$ и диагональ основания $d_{о}$. Вместе с боковым ребром (высотой) призмы $h$ они образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю призмы и ее проекцией на плоскость основания (диагональю основания) равен $30^\circ$.

Найдем высоту $h$ и диагональ основания $d_{о}$ из этого прямоугольного треугольника:
$h = d_{п} \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
$d_{о} = d_{п} \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Диагональ квадрата связана с его стороной $a$ формулой $d_{о} = a\sqrt{2}$. Найдем сторону основания:
$a\sqrt{2} = 4\sqrt{3}$
$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$.

Теперь вычислим площадь основания и площадь боковой поверхности:
Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.
Периметр основания: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 8\sqrt{6} \cdot 4 = 32\sqrt{6}$.

Наконец, найдем полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 24 + 32\sqrt{6} = 48 + 32\sqrt{6}$.
Ответ: $48 + 32\sqrt{6}$.

б)

Призма на рис. 7 является правильной шестиугольной призмой, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы как $h$.

На рисунке дана большая диагональ основания $D = 8\sqrt{3}$. Она связана со стороной правильного шестиугольника $a$ соотношением $D = 2a$. Отсюда находим сторону основания:
$2a = 8\sqrt{3}$
$a = 4\sqrt{3}$.

Диагональ призмы, проходящая через большую диагональ основания $D$, и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между этой диагональю призмы и диагональю основания равен $45^\circ$. Найдем высоту $h$ из этого треугольника:
$\tan(45^\circ) = \frac{h}{D}$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то $h = D = 8\sqrt{3}$.

Теперь вычислим площадь основания и площадь боковой поверхности.
Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (16 \cdot 3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 48 = 3\sqrt{3} \cdot 24 = 72\sqrt{3}$.
Периметр основания: $P_{осн} = 6a = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 24 \cdot 8 \cdot (\sqrt{3})^2 = 192 \cdot 3 = 576$.

Наконец, найдем полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 72\sqrt{3} + 576 = 144\sqrt{3} + 576$.
Ответ: $576 + 144\sqrt{3}$.