Номер 20, страница 6 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

20. Прямые содержат стороны правильного шестиугольника. Определите, сколько точек получится при попарных пересечениях этих прямых.

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных точек пересечения образуют 6 прямых, на которых лежат стороны правильного шестиугольника.
Сначала найдем максимальное возможное число точек пересечения для 6 прямых. Если бы никакие две прямые не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке, то число точек пересечения было бы равно числу сочетаний из 6 по 2, то есть числу способов выбрать пару прямых из шести.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n=6$ и $k=2$:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$
Таким образом, максимальное возможное число точек пересечения для 6 прямых — 15.
Однако, в правильном шестиугольнике есть особенность: его противоположные стороны параллельны. У шестиугольника 3 пары противоположных сторон. Это означает, что у нас есть 3 пары параллельных прямых.
Параллельные прямые не пересекаются. Следовательно, каждая такая пара не дает точки пересечения. Нам нужно вычесть эти 3 не-пересечения из максимального возможного числа.
$15 - 3 = 12$
Остается проверить, не пересекаются ли какие-либо три прямые в одной точке. В случае прямых, содержащих стороны правильного шестиугольника, такой ситуации не возникает. 6 точек пересечения являются вершинами самого шестиугольника (пересечение смежных сторон), и еще 6 точек образуются при пересечении несмежных и непараллельных сторон вне шестиугольника. Все эти 12 точек различны.
Следовательно, общее количество точек пересечения равно 12.
Ответ: 12