Номер 25, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

25. Точки $M, N, K, L$ не лежат в одной плоскости, точка $A$ лежит между точками $K$ и $M$, а точка $B$ — между точками $K$ и $N$. Определите:

а) принадлежит ли точка $A$ плоскости $MNL$;

б) по какой прямой пересекаются плоскости $MNL$ и $KAB$; $MBK$ и $NLK$;

в) принадлежит ли прямая $AL$ плоскости $MBK$.

а) принадлежит ли точка А плоскости MNL;

Предположим, что точка $A$ принадлежит плоскости $MNL$. По условию, точка $A$ лежит между точками $K$ и $M$, то есть $A \in KM$. Точка $M$ также принадлежит плоскости $MNL$ по определению этой плоскости. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая $KM$ (которая совпадает с прямой $AM$) должна лежать в плоскости $MNL$.

Если прямая $KM$ лежит в плоскости $MNL$, то любая точка этой прямой, включая точку $K$, также принадлежит плоскости $MNL$. В таком случае все четыре точки $M, N, K, L$ лежат в одной плоскости ($MNL$). Однако это противоречит условию задачи, где сказано, что точки $M, N, K, L$ не лежат в одной плоскости.

Таким образом, наше первоначальное предположение неверно, и точка $A$ не принадлежит плоскости $MNL$.

Ответ: Нет, точка А не принадлежит плоскости MNL.

б) по какой прямой пересекаются плоскости MNL и KAB; MBK и NLK;

1. Пересечение плоскостей $MNL$ и $KAB$.

По условию, точка $A$ лежит на отрезке $KM$ ($A \in KM$) и точка $B$ лежит на отрезке $KN$ ($B \in KN$). Плоскость $KAB$ определяется тремя точками $K, A, B$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на прямых $KM$ и $KN$ соответственно, то плоскость $KAB$ проходит через пересекающиеся в точке $K$ прямые $KM$ и $KN$. Следовательно, плоскость $KAB$ совпадает с плоскостью, определенной точками $K, M, N$, то есть с плоскостью $KMN$.

Таким образом, задача сводится к нахождению линии пересечения плоскостей $MNL$ и $KMN$. Точка $M$ принадлежит обеим плоскостям (по их определению). Точка $N$ также принадлежит обеим плоскостям. Поскольку две плоскости, имеющие две общие точки, пересекаются по прямой, проходящей через эти точки, то линией их пересечения является прямая $MN$.

2. Пересечение плоскостей $MBK$ и $NLK$.

Рассмотрим плоскости $MBK$ и $NLK$. Точка $K$ по определению принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на линии их пересечения.

По условию, точка $B$ лежит на отрезке $KN$. Плоскость $NLK$ определяется точками $N, L, K$. Так как точки $N$ и $K$ принадлежат этой плоскости, то и вся прямая $NK$ принадлежит плоскости $NLK$. Поскольку $B \in KN$, то точка $B$ также принадлежит плоскости $NLK$.

Точка $B$ также принадлежит плоскости $MBK$ по ее определению. Следовательно, точка $B$ является общей для обеих плоскостей и лежит на линии их пересечения.

Поскольку обе плоскости проходят через точки $K$ и $B$, они пересекаются по прямой $KB$. Так как точка $B$ лежит на прямой $KN$, прямая $KB$ совпадает с прямой $KN$.

Ответ: Плоскости $MNL$ и $KAB$ пересекаются по прямой $MN$; плоскости $MBK$ и $NLK$ пересекаются по прямой $KN$.

в) принадлежит ли прямая AL плоскости MBK.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее различные точки принадлежат этой плоскости. Проверим, принадлежат ли точки $A$ и $L$ прямой $AL$ плоскости $MBK$.

Сначала определим, что из себя представляет плоскость $MBK$. Она проходит через точку $M$ и точки $B$ и $K$, лежащие на прямой $KN$. Так как точка $M$ не лежит на прямой $KN$ (иначе точки $M, K, N$ были бы коллинеарны, что невозможно, так как они образуют грань пространственной фигуры), плоскость $MBK$ однозначно определяется точкой $M$ и прямой $KN$. Эта плоскость совпадает с плоскостью $MKN$.

Теперь проверим принадлежность точек $A$ и $L$ плоскости $MKN$.

1. Точка $A$. По условию, $A$ лежит на отрезке $KM$. Прямая $KM$ полностью лежит в плоскости $MKN$, так как обе точки $K$ и $M$ принадлежат этой плоскости. Следовательно, точка $A$ принадлежит плоскости $MKN$ (и, соответственно, плоскости $MBK$).

2. Точка $L$. По условию задачи, точки $M, N, K, L$ не лежат в одной плоскости. Это означает, что точка $L$ не может принадлежать плоскости, определенной точками $M, N, K$, то есть $L \notin (MKN)$.

Поскольку точка $A$ прямой $AL$ принадлежит плоскости $MBK$, а точка $L$ не принадлежит этой плоскости, то вся прямая $AL$ не может лежать в плоскости $MBK$. Она пересекает эту плоскость в точке $A$.

Ответ: Нет, прямая AL не принадлежит плоскости MBK.