Номер 28, страница 7 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

28. Прямые $a$, $b$, $c$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $K$, $P$ и $M$ соответственно (рис. 11). Определите, лежат ли в одной плоскости прямые $a$, $b$, $c$.

Рис. 11

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как $\beta$.

По условию, прямые $a$, $b$ и $c$ пересекают плоскость $\alpha$, а не лежат в ней. Это означает, что плоскость $\beta$, в которой (согласно нашему предположению) находятся прямые, не может совпадать с плоскостью $\alpha$. Таким образом, $\alpha$ и $\beta$ — это две различные плоскости.

Из нашего предположения следует, что раз прямые $a$, $b$ и $c$ лежат в плоскости $\beta$, то и все их точки также принадлежат этой плоскости. В частности, точки пересечения с плоскостью $\alpha$ — точки $K$, $P$ и $M$ — должны лежать в плоскости $\beta$.

Таким образом, мы получаем, что точки $K$, $P$ и $M$ являются общими для двух различных плоскостей: $\alpha$ (по условию) и $\beta$ (по нашему предположению).

Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой, и все их общие точки принадлежат этой прямой. Отсюда следует, что точки $K$, $P$ и $M$ должны лежать на одной прямой, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Однако, на рисунке 11 мы видим, что точки $K$, $P$ и $M$ не лежат на одной прямой.

Возникшее противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямые $a$, $b$ и $c$ не могут лежать в одной плоскости.

Ответ: Прямые $a$, $b$ и $c$ не лежат в одной плоскости.