Номер 34, страница 8 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

34. В гранях $ABA_1$, $BCB_1$ и на ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены точки $P$, $Q$, $R$ соответственно (рис. 17). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $PQR$.

Рис. 17

Для построения точки пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $(PQR)$ мы найдем прямую, по которой плоскость $(PQR)$ пересекает плоскость грани $(CDD_1C_1)$, так как ребро $DD_1$ лежит в этой грани. Искомая точка будет являться точкой пересечения найденной прямой с ребром $DD_1$.

Обозначим искомую точку пересечения как $S$. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

Чтобы построить прямую, нужно найти две точки, принадлежащие этой прямой. Обозначим эту прямую как $l$. Таким образом, $l = (PQR) \cap (CDD_1C_1)$.

По условию задачи точка $R$ расположена на ребре $CC_1$. Ребро $CC_1$ является частью грани $(CDD_1C_1)$, следовательно, точка $R$ принадлежит плоскости $(CDD_1C_1)$. По определению, точка $R$ также принадлежит плоскости $(PQR)$. Таким образом, $R$ является общей точкой для обеих плоскостей и, следовательно, лежит на их линии пересечения $l$.

Для нахождения второй точки найдем пересечение какой-либо прямой, лежащей в плоскости $(PQR)$, с плоскостью $(CDD_1C_1)$. Наиболее удобной для этого является прямая $PQ$. Обозначим точку их пересечения как $K$. Таким образом, нам нужно построить точку $K = PQ \cap (CDD_1C_1)$.

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости используем метод вспомогательных плоскостей:

1. Проведем через прямую $PQ$ вспомогательную плоскость $\gamma$, которая будет параллельна боковым ребрам призмы, например, ребру $AA_1$.
2. Найдем след (линию пересечения) плоскости $\gamma$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого спроецируем точки $P$ и $Q$ на плоскость основания параллельно боковым ребрам:
   • Проведем прямую через точку $P$ параллельно $AA_1$ до пересечения с прямой $AB$. Обозначим точку пересечения $P_0$.
   • Проведем прямую через точку $Q$ параллельно $BB_1$ до пересечения с прямой $BC$. Обозначим точку пересечения $Q_0$.
   Прямая, проходящая через точки $P_0$ и $Q_0$, является следом плоскости $\gamma$ на плоскости основания $(ABC)$.
3. Теперь найдем линию пересечения $m$ вспомогательной плоскости $\gamma$ и плоскости грани $(CDD_1C_1)$.
   • Так как плоскость $\gamma$ была построена параллельно боковому ребру $AA_1$, а в призме все боковые ребра параллельны ($AA_1 \parallel CC_1$), то плоскость $\gamma$ параллельна и ребру $CC_1$. Поскольку прямая $CC_1$ лежит в плоскости $(CDD_1C_1)$, их линия пересечения $m$ также будет параллельна $CC_1$.
   • Чтобы построить прямую $m$, достаточно найти одну ее точку. Эта точка будет лежать на пересечении следов плоскостей $\gamma$ и $(CDD_1C_1)$ на плоскости основания $(ABC)$. Следом $\gamma$ является прямая $P_0Q_0$, а следом $(CDD_1C_1)$ является прямая $CD$. Продлим прямые $P_0Q_0$ и $CD$ в плоскости основания до их пересечения в точке $Z$.
   • Прямая $m$ проходит через точку $Z$ и параллельна ребру $CC_1$.
4. Искомая точка $K$ находится как пересечение прямой $PQ$ и построенной прямой $m$. Обе эти прямые лежат во вспомогательной плоскости $\gamma$, поэтому они пересекаются (в общем случае). Строим точку $K = PQ \cap m$.

Построенная точка $K$ является второй точкой прямой $l$, так как она одновременно принадлежит прямой $PQ$ (и всей плоскости $(PQR)$) и прямой $m$ (и всей плоскости $(CDD_1C_1)$).

Теперь у нас есть две точки $R$ и $K$, которые определяют прямую $l$ — линию пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(CDD_1C_1)$.

1. Проводим прямую через точки $R$ и $K$. Это и есть прямая $l$.
2. Искомая точка $S$ — это точка пересечения прямой $l$ (то есть прямой $RK$) и ребра $DD_1$.

Построение завершено. Точка $S = RK \cap DD_1$ является искомой точкой пересечения ребра $DD_1$ с плоскостью $PQR$.

Ответ: Искомая точка $S$ строится как пересечение ребра $DD_1$ с прямой $RK$. Точка $R$ дана по условию. Точка $K$ строится как пересечение прямой $PQ$ с плоскостью грани $(CDD_1C_1)$ с помощью вспомогательной секущей плоскости, проходящей через прямую $PQ$ параллельно боковым ребрам призмы. Полный алгоритм построения представлен выше.