Номер 39, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

39. Точки $C$, $D$, $E$ отмечены соответственно на ребрах $PS$, $SS_1$, $Q_1R_1$ призмы $PQRSP_1Q_1R_1S_1$ (рис. 22). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Рис. 22

Для построения сечения призмы плоскостью $CDE$ воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы.

1. Построение следа на передней грани $PSS_1P_1$

   Точки $C$ и $D$ по условию лежат на ребрах $PS$ и $SS_1$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат передней грани $PSS_1P_1$. Следовательно, отрезок $CD$ является линией пересечения секущей плоскости $(CDE)$ с этой гранью. Отрезок $CD$ — первая сторона искомого сечения.

2. Построение следа на верхней грани $P_1Q_1R_1S_1$

   Найдем линию пересечения секущей плоскости с плоскостью верхней грани. Для этого нам нужна вторая точка в этой плоскости, кроме точки $E$. Найдем ее как точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с прямой, лежащей в плоскости верхней грани. Прямые $CD$ и $P_1S_1$ лежат в одной плоскости $(PSS_1P_1)$ и не параллельны (в общем случае). Продлим отрезок $CD$ и ребро $P_1S_1$ до их пересечения в точке $M$. Точка $M$ принадлежит как секущей плоскости (так как $M \in CD$), так и плоскости верхней грани (так как $M \in P_1S_1$). Теперь в плоскости верхней грани у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: $E$ и $M$. Прямая $EM$ является следом секущей плоскости на плоскости верхней грани. Эта прямая пересекает ребро $P_1Q_1$ в точке $F$. Таким образом, отрезок $EF$ — вторая сторона сечения.

3. Построение следа на левой грани $PQQ_1P_1$

   Мы получили точку $F$ на ребре $P_1Q_1$, которое принадлежит левой грани. Для построения следа на этой грани найдем еще одну точку. Продлим прямую $CD$ (лежащую в секущей плоскости и в плоскости передней грани) до пересечения с прямой $PP_1$ (ребро, принадлежащее и передней, и левой граням). Обозначим точку их пересечения $N$. Точка $N$ принадлежит секущей плоскости и плоскости левой грани. Теперь у нас есть две точки ($F$ и $N$) в плоскости левой грани, принадлежащие секущей плоскости. Прямая $NF$ — это след секущей плоскости на левой грани. Она пересекает ребро $PQ$ в точке $G$. Отрезок $FG$ — третья сторона сечения.

4. Построение следа на нижней грани $PQRS$

   Точка $G$ лежит на ребре $PQ$, а точка $C$ (из условия) лежит на ребре $PS$. Оба ребра принадлежат нижней грани $PQRS$. Следовательно, отрезок $GC$ является следом секущей плоскости на нижней грани и четвертой стороной сечения.

5. Построение следа на правой грани $RSS_1R_1$

   На этой грани лежит точка $D$. Найдем вторую точку. Прямая $EM$ (след на верхней грани) пересекает продолжение ребра $R_1S_1$ в точке $K$. Точка $K$ принадлежит секущей плоскости и плоскости правой грани. Значит, прямая $KD$ является следом секущей плоскости на правой грани. Эта прямая пересекает ребро $RR_1$ в точке $H$. Отрезок $DH$ — пятая сторона сечения.

6. Построение следа на задней грани $QRR_1Q_1$

   Мы имеем точку $H$ на ребре $RR_1$ и точку $E$ на ребре $Q_1R_1$. Оба ребра принадлежат задней грани. Соединяя эти точки, получаем отрезок $HE$ — шестую, замыкающую сторону сечения.

В результате последовательного выполнения шагов мы построили замкнутый многоугольник, являющийся сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — шестиугольник $CDHEFG$.