Номер 46, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

46. В грани $SBC$ и на ребрах $SA$ и $SD$ пирамиды $SABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $K$ (рис. 29). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью $MNK$.

Рис. 29

Для построения сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$, необходимо последовательно найти линии пересечения (следы) секущей плоскости с гранями пирамиды. Воспользуемся для этого методом вспомогательных плоскостей.

1. Соединим точки $N$ и $K$. Так как точка $N$ лежит на ребре $SA$, а точка $K$ — на ребре $SD$, обе они принадлежат плоскости грани $SAD$. Следовательно, отрезок $NK$ является линией пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с гранью $SAD$.
2. Найдем линию пересечения плоскости грани $SAD$ и плоскости грани $SBC$. Эти плоскости имеют общую точку $S$. Чтобы найти вторую общую точку, продлим прямые $AD$ и $BC$, лежащие в плоскости основания $ABCD$, до их пересечения в точке $P$. (Если $AD \parallel BC$, то линия пересечения плоскостей $(SAD)$ и $(SBC)$ будет проходить через точку $S$ параллельно $AD$). Таким образом, прямая $SP$ является линией пересечения плоскостей $(SAD)$ и $(SBC)$.
3. Найдем точку, принадлежащую одновременно трем плоскостям: секущей плоскости $(MNK)$, плоскости грани $SAD$ и плоскости грани $SBC$. Прямая $NK$ лежит в плоскости $(MNK)$ и в плоскости $(SAD)$. Прямая $SP$ лежит в плоскости $(SBC)$ и в плоскости $(SAD)$. Так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SAD)$, они пересекутся в некоторой точке $Q$. Точка $Q$ принадлежит прямой $NK$ и, следовательно, секущей плоскости $(MNK)$. Также точка $Q$ принадлежит прямой $SP$ и, следовательно, плоскости грани $(SBC)$. Значит, точка $Q$ лежит на линии пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(SBC)$.
4. Построим линию пересечения секущей плоскости с гранью $SBC$. У нас есть две точки, принадлежащие этой линии: точка $M$ (дана по условию) и точка $Q$ (построена в предыдущем шаге). Проведем прямую $MQ$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости грани $SBC$.
5. Найдем вершины сечения, лежащие на ребрах $SB$ и $SC$. Для этого найдем точки пересечения прямой $MQ$ с ребрами $SB$ и $SC$. Обозначим эти точки как $E$ и $F$ соответственно ($E = MQ \cap SB$, $F = MQ \cap SC$). Отрезок $EF$ является стороной искомого сечения, лежащей в грани $SBC$.
6. Завершим построение сечения. Мы нашли все вершины многоугольника, являющегося сечением: $N$ на $SA$, $E$ на $SB$, $F$ на $SC$ и $K$ на $SD$. Последовательно соединим эти точки:
   • Отрезок $NE$ лежит в грани $SAB$.
   • Отрезок $EF$ лежит в грани $SBC$.
   • Отрезок $FK$ лежит в грани $SCD$.
   • Отрезок $KN$ лежит в грани $SAD$.

Полученный четырехугольник $NEFK$ и есть искомое сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $MNK$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $NEFK$, построенный в соответствии с приведенным выше алгоритмом.