Номер 48, страница 11 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

48. Постройте сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $PQR$, учитывая, что точки $R, Q, P$ отмечены соответственно в плоскости $ABC$, грани $SCD$ и:

а) на ребре $SA$ (рис. 31);

б) грани $SAB$ (рис. 32).

Рис. 31

Рис. 32

Для построения сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $PQR$ воспользуемся методом следов. Построим след секущей плоскости на плоскости основания $ABC$, а затем, используя его, найдем точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды.

Построение:

1. Построим след секущей плоскости $(PQR)$ на плоскости основания $(ABC)$. Точка $R$ принадлежит этому следу, так как $R \in (ABC)$ и $R \in (PQR)$. Для построения следа нужна еще одна точка.

2. Найдем точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью основания $(ABC)$. Для этого воспользуемся вспомогательной плоскостью. Точка $P$ лежит на ребре $SA$, а точка $Q$ — в грани $SCD$. Проведем прямую $SQ$ до пересечения с прямой $CD$ в точке $M$. Точки $S, Q, M$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $PQ$ лежит в плоскости $(SAM)$, так как $P \in SA$ и $Q \in SM$.

4. Плоскость $(SAM)$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $AM$.

5. Прямые $PQ$ и $AM$ лежат в одной плоскости $(SAM)$ и пересекаются в некоторой точке $K_1$. Точка $K_1 = PQ \cap AM$ является точкой пересечения прямой $PQ$ с плоскостью основания, так как $K_1 \in AM$, а $AM \subset (ABC)$.

6. Прямая $RK_1$ является следом секущей плоскости $(PQR)$ на плоскости основания $(ABC)$. Обозначим этот след как $t$.

7. Теперь найдем вершины сечения на ребрах пирамиды. Для этого найдем точки пересечения следа $t$ с прямыми, содержащими стороны основания. Пусть $Y_0 = t \cap AD$ и $X_0 = t \cap CD$.

8. Линия пересечения секущей плоскости $(PQR)$ с гранью $(SAD)$ проходит через точку $P$ и точку $Y_0$ (так как $P \in (PQR)$ и $Y_0 \in (PQR)$, и обе точки лежат в плоскости $(SAD)$). Проведем прямую $PY_0$. Пусть она пересекает ребро $SD$ в точке $U$. Тогда $PU$ — сторона сечения.

9. Линия пересечения плоскости $(PQR)$ с гранью $(SCD)$ проходит через точку $U$ и точку $X_0$. Проведем прямую $UX_0$. (Заметим, что точка $Q$ также должна лежать на этой прямой). Пусть прямая $UX_0$ пересекает ребро $SC$ в точке $V$. Тогда $UV$ — сторона сечения.

10. Для нахождения пересечения с гранью $(SBC)$ найдем точку пересечения следа $t$ с прямой $BC$. Пусть $Z_0 = t \cap BC$. Линия пересечения $(PQR)$ с $(SBC)$ — это прямая $VZ_0$. Пусть она пересекает ребро $SB$ в точке $W$. Тогда $VW$ — сторона сечения.

11. Точки $W$ и $P$ лежат в грани $(SAB)$. Соединив их, получим последнюю сторону сечения $WP$.

12. В результате получаем искомое сечение — многоугольник $PUVW$. Вершины этого многоугольника лежат на боковых ребрах пирамиды.

Ответ: Искомое сечение — многоугольник $PUVW$, построенный согласно описанному алгоритму.

В данном случае, согласно рис. 32, точка $P$ лежит в грани $SAB$, точка $Q$ — в плоскости основания $ABCD$, а точка $R$ — в плоскости основания $ABC$ вне многоугольника $ABCD$.

Построение:

1. Построим след секущей плоскости $(PQR)$ на плоскости основания $(ABC)$. Так как точки $Q$ и $R$ обе лежат и в секущей плоскости $(PQR)$, и в плоскости основания $(ABC)$, то прямая $QR$ является следом секущей плоскости на плоскости основания. Обозначим этот след как $t$.

2. Найдем точки пересечения следа $t=QR$ с ребрами основания пирамиды. Пусть $V_1 = t \cap AD$ и $V_2 = t \cap BC$. Отрезок $V_1V_2$ является стороной искомого сечения и лежит в основании пирамиды.

3. Теперь найдем линию пересечения секущей плоскости $(PQR)$ с гранью $(SAB)$. Для этого нам нужна еще одна точка этой линии, кроме точки $P$. Найдем точку пересечения следа $t$ с прямой $AB$. Пусть $X_0 = t \cap AB$.

4. Точка $X_0$ лежит на прямой $AB$, следовательно, принадлежит плоскости грани $(SAB)$. Также $X_0$ лежит на следе $t$, следовательно, принадлежит секущей плоскости $(PQR)$. Точка $P$ также принадлежит обеим этим плоскостям. Значит, прямая $PX_0$ является линией пересечения плоскости $(PQR)$ и грани $(SAB)$.

5. Найдем точки пересечения прямой $PX_0$ с ребрами грани $SAB$. Пусть $V_3 = PX_0 \cap SA$ и $V_4 = PX_0 \cap SB$. Отрезок $V_3V_4$ — это сторона сечения, лежащая в грани $SAB$.

6. Мы получили все вершины сечения: $V_1$ на ребре $AD$, $V_2$ на ребре $BC$, $V_3$ на ребре $SA$ и $V_4$ на ребре $SB$. Последовательно соединим их.

7. Соединим $V_3$ и $V_1$. Обе точки лежат в плоскости грани $(SAD)$, поэтому отрезок $V_3V_1$ — сторона сечения.

8. Соединим $V_4$ и $V_2$. Обе точки лежат в плоскости грани $(SBC)$, поэтому отрезок $V_4V_2$ — сторона сечения.

9. В результате получаем искомое сечение — четырехугольник $V_1V_3V_4V_2$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $V_1V_3V_4V_2$, построенный согласно описанному алгоритму.