Номер 50, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

50. Постройте сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ и найдите его площадь, учитывая, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $A$ и пересекает середины ребер:

а) $BB_1$ и $DD_1$;

б) $B_1C_1$ и $C_1D_1$;

в) $BC$ и $A_1B_1$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в вершине A. Направим оси Ox, Oy, Oz вдоль ребер AB, AD, AA₁ соответственно. Так как куб единичный, его ребро равно 1. Координаты вершин куба будут следующими: A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A₁(0,0,1), C(1,1,0), B₁(1,0,1), D₁(0,1,1), C₁(1,1,1).

а) $BB_1$ и $DD_1$

Плоскость $\alpha$ проходит через вершину A(0,0,0) и середины ребер $BB_1$ и $DD_1$.

1. Построение сечения.
Найдем координаты заданных точек.

• Вершина A имеет координаты (0,0,0).
• Пусть M — середина ребра $BB_1$. Координаты B(1,0,0) и B₁(1,0,1), тогда M = $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$.
• Пусть N — середина ребра $DD_1$. Координаты D(0,1,0) и D₁(0,1,1), тогда N = $(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 1, \frac{1}{2})$.

Три точки A, M, N определяют секущую плоскость. Соединяем точки, лежащие в одной грани: A и M (в грани $ABB_1A_1$), A и N (в грани $ADD_1A_1$). Отрезки AM и AN — стороны сечения. Рассмотрим плоскости граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$. Они параллельны. Следовательно, секущая плоскость $\alpha$ пересекает их по параллельным прямым. Значит, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$ проходит через точку M параллельно AN. Аналогично, линия пересечения с гранью $CDD_1C_1$ проходит через N параллельно AM. Заметим, что четырехугольник $AD_1C_1B$ является прямоугольником. Точки N и M — середины его сторон $AD_1$ и $BC_1$ соответственно. Нет, это не так. $AD_1C_1B$ не плоский. Найдем уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через A(0,0,0), M(1, 0, 1/2), N(0, 1, 1/2). Общий вид уравнения $ax+by+cz+d=0$. Так как плоскость проходит через начало координат, $d=0$. Подставляя координаты M и N, получаем систему:
$a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot \frac{1}{2} = 0 \implies a = -c/2$
$a \cdot 0 + b \cdot 1 + c \cdot \frac{1}{2} = 0 \implies b = -c/2$
Отсюда $a=b$. Положив $c=-2$, получим $a=1, b=1$. Уравнение плоскости: $x+y-2z=0$.
Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Мы уже имеем A, M, N. Проверим, где плоскость пересекает другие грани.
Грань $BCC_1B_1$ ($x=1$): $1+y-2z=0$. Эта линия проходит через M(1,0,1/2) и C₁(1,1,1), так как $1+1-2(1)=0$.
Грань $CDD_1C_1$ ($y=1$): $x+1-2z=0$. Эта линия проходит через N(0,1,1/2) и C₁(1,1,1), так как $1+1-2(1)=0$.
Таким образом, сечение является четырехугольником $AMC_1N$.

2. Нахождение площади.
Найдем длины сторон четырехугольника $AMC_1N$:
$|AM| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|AN| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|MC_1| = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
$|NC_1| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
Все стороны равны, следовательно, $AMC_1N$ — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Диагонали — это отрезки $AC_1$ и $MN$.
$d_1 = |AC_1| = \sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2} = \sqrt{3}$
$d_2 = |MN| = \sqrt{(0-1)^2+(1-0)^2+(1/2-1/2)^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$
Площадь сечения: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: сечение – ромб $AMC_1N$, его площадь равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

б) $B_1C_1$ и $C_1D_1$

Плоскость $\alpha$ проходит через вершину A(0,0,0) и середины ребер $B_1C_1$ и $C_1D_1$.

1. Построение сечения.
Найдем координаты заданных точек.

• Вершина A имеет координаты (0,0,0).
• Пусть P — середина ребра $B_1C_1$. Координаты B₁(1,0,1) и C₁(1,1,1), тогда P = $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$.
• Пусть Q — середина ребра $C_1D_1$. Координаты C₁(1,1,1) и D₁(0,1,1), тогда Q = $(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1, 1)$.

Найдем уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через A(0,0,0), P(1, 1/2, 1), Q(1/2, 1, 1). Уравнение имеет вид $ax+by+cz=0$.
$a \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 1 = 0$
$a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot 1 + c \cdot 1 = 0$
Вычитая из первого уравнения второе, получаем $a/2 - b/2 = 0$, откуда $a=b$. Подставив $a=b$ в первое уравнение, имеем $a + a/2 + c = 0 \implies c = -3a/2$. Выбрав $a=2$, получаем $b=2, c=-3$.
Уравнение плоскости: $2x+2y-3z=0$.
Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба:

• Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0$): $2(1)+2(0)-3z=0 \implies z=2/3$. Точка M(1, 0, 2/3).
• Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1$): $2(0)+2(1)-3z=0 \implies z=2/3$. Точка N(0, 1, 2/3).
• Ребро $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $2(1)+2y-3(1)=0 \implies 2y=1 \implies y=1/2$. Это точка P.
• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x+2(1)-3(1)=0 \implies 2x=1 \implies x=1/2$. Это точка Q.

Таким образом, сечение является пятиугольником, вершины которого лежат на ребрах куба: A(0,0,0), M(1,0,2/3), P(1,1/2,1), Q(1/2,1,1), N(0,1,2/3). Последовательно соединив эти точки, получаем пятиугольник ANQPM.

2. Нахождение площади.
Для нахождения площади пятиугольника воспользуемся методом проекций. Спроектируем сечение на плоскость Oxy. Проекцией пятиугольника ANQPM является пятиугольник A'N'Q'P'M' с вершинами A'(0,0), N'(0,1), Q'(1/2,1), P'(1,1/2), M'(1,0).
Площадь проекции $S_{proj}$ равна площади единичного квадрата в плоскости Oxy с вершинами (0,0),(1,0),(1,1),(0,1) за вычетом площади треугольника с вершинами (1/2,1), (1,1), (1,1/2).
$S_{proj} = 1^2 - \frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{2}) \cdot (1-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции формулой $S = \frac{S_{proj}}{\cos\gamma}$, где $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.
Нормальный вектор к плоскости сечения $2x+2y-3z=0$ есть $\vec{n}=(2,2,-3)$. Нормальный вектор к плоскости Oxy ($z=0$) есть $\vec{k}=(0,0,1)$.
$\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|2\cdot0+2\cdot0+(-3)\cdot1|}{\sqrt{2^2+2^2+(-3)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{4+4+9}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
Площадь сечения: $S = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ: сечение – пятиугольник ANQPM, его площадь равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.

в) BC и $A_1B_1$

Плоскость $\alpha$ проходит через вершину A(0,0,0) и середины ребер BC и $A_1B_1$.

1. Построение сечения.
Найдем координаты заданных точек.

• Вершина A имеет координаты (0,0,0).
• Пусть R — середина ребра BC. Координаты B(1,0,0) и C(1,1,0), тогда R = $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 0)$.
• Пусть S — середина ребра $A_1B_1$. Координаты A₁(0,0,1) и B₁(1,0,1), тогда S = $(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (\frac{1}{2}, 0, 1)$.

Найдем уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через A(0,0,0), R(1, 1/2, 0), S(1/2, 0, 1). Уравнение имеет вид $ax+by+cz=0$.
$a \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 0 = 0 \implies b = -2a$
$a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \implies c = -a/2$
Выбрав $a=2$, получаем $b=-4, c=-1$.
Уравнение плоскости: $2x-4y-z=0$.
Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба:

• На грани ABCD ($z=0$) плоскость оставляет след $2x-4y=0$, или $x=2y$. Эта линия проходит через A(0,0) и R(1,1/2). Это отрезок AR.
• На грани $ABB_1A_1$ ($y=0$) плоскость оставляет след $2x-z=0$. Эта линия проходит через A(0,0) и S(1/2,1). Это отрезок AS.
• Найдем пересечение с ребром $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $2(1)-4y-1=0 \implies 1-4y=0 \implies y=1/4$. Точка T(1, 1/4, 1).

Соединяя последовательно точки, лежащие на гранях, получаем четырехугольник ARTS. A(0,0,0), R(1, 1/2, 0), T(1, 1/4, 1), S(1/2, 0, 1).

2. Нахождение площади.
Спроектируем сечение на плоскость Oxy. Проекцией четырехугольника ARTS является четырехугольник A'R'T'S' с вершинами A'(0,0), R'(1, 1/2), T'(1, 1/4), S'(1/2, 0).
Площадь проекции $S_{proj}$ можно найти, разбив четырехугольник на два треугольника A'S'R' и S'T'R'.
Площадь треугольника A'S'R' с вершинами A'(0,0), S'(1/2,0), R'(1,1/2): $S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot |A'S'| \cdot y_{R'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Площадь треугольника S'T'R' с вершинами S'(1/2,0), T'(1,1/4), R'(1,1/2). Проще рассмотреть трапецию с вершинами (1/2,0), (1,0), (1,1/2), (1/2, 1/2) и вычесть/добавить треугольники.
Проще использовать формулу шнурков (площадь Гаусса) для A'R'T'S':
$S_{proj} = \frac{1}{2} |(x_A y_R - y_A x_R) + (x_R y_T - y_R x_T) + (x_T y_S - y_T x_S) + (x_S y_A - y_S x_A)|$
$S_{proj} = \frac{1}{2} |(0 - 0) + (1 \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1) + (1 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}) + (0 - 0)| = \frac{1}{2} |\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{8}| = \frac{1}{2} |\frac{2-4-1}{8}| = \frac{1}{2} |-\frac{3}{8}| = \frac{3}{16}$.
Нормальный вектор к плоскости сечения $2x-4y-z=0$ есть $\vec{n}=(2,-4,-1)$. Нормальный вектор к плоскости Oxy есть $\vec{k}=(0,0,1)$.
$\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{2^2+(-4)^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{4+16+1}} = \frac{1}{\sqrt{21}}$.
Площадь сечения: $S = \frac{S_{proj}}{\cos\gamma} = \frac{3/16}{1/\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: сечение – четырехугольник ARTS, его площадь равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.