Номер 51, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

51. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $A_1$, $B$ и середину ребра $C_1D_1$ единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сделайте соответствующий рисунок в тетради, постройте сечение куба плоскостью $\alpha$ и найдите площадь сечения.

Построение сечения

1. Для построения сечения и нахождения его площади введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину куба $A$ в начало координат $(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный (длина ребра равна 1), вершины куба будут иметь следующие координаты:

• $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

2. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через три заданные точки:

• Вершина $A_1(0,0,1)$
• Вершина $B(1,0,0)$
• Середина ребра $C_1D_1$. Обозначим эту точку как $M$. Её координаты равны полусумме координат точек $C_1$ и $D_1$: $M\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right)$, то есть $M(1/2, 1, 1)$.

3. Построение сечения осуществляется пошагово методом следов и с использованием свойства параллельности граней куба.

• Шаг 1: Соединим точки, лежащие в одной грани. Точки $A_1$ и $B$ обе лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$ (плоскость $y=0$). Следовательно, отрезок $A_1B$ является одной из сторон сечения.
• Шаг 2: Точки $A_1$ и $M$ лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$). Соединив их, получаем сторону сечения $A_1M$.
• Шаг 3: Грани $ABB_1A_1$ (передняя) и $CDD_1C_1$ (задняя) параллельны. По свойству сечения, плоскость $\alpha$ пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Значит, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $CDD_1C_1$ должна быть параллельна прямой $A_1B$. Эта линия должна проходить через точку $M$, которая принадлежит грани $CDD_1C_1$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $A_1B$, до пересечения с ребром грани $CDD_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в некоторой точке $N$. Найдем координаты точки $N$.
  Вектор $\vec{A_1B} = B - A_1 = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$.
  Прямая, проходящая через $M(1/2, 1, 1)$ с направляющим вектором $\vec{A_1B}$, задается как $(x,y,z) = (1/2, 1, 1) + t(1, 0, -1)$.
  Найдем пересечение с ребром $CC_1$, которое задается условиями $x=1, y=1$.
  $1/2 + t = 1 \implies t = 1/2$.
  Тогда $z = 1 - t = 1 - 1/2 = 1/2$.
  Получаем точку $N(1, 1, 1/2)$. Эта точка является серединой ребра $CC_1$. Отрезок $MN$ — третья сторона сечения.
• Шаг 4: Точки $B$ и $N$ лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$ (плоскость $x=1$). Соединяем их и получаем четвертую сторону сечения $BN$.

Таким образом, искомое сечение является четырехугольником $A_1MNB$.

Нахождение площади сечения

1. Определим вид полученного четырехугольника $A_1MNB$, вычислив длины его сторон.

• $|\vec{A_1B}| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
• $|\vec{BN}| = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1/2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
• $|\vec{MN}| = \sqrt{(1-1/2)^2 + (1-1)^2 + (1/2-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 0^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $|\vec{A_1M}| = \sqrt{(1/2-0)^2 + (1-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. В ходе построения мы установили, что сторона $MN$ параллельна стороне $A_1B$. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Так как длины боковых (непараллельных) сторон равны ($|\vec{A_1M}| = |\vec{BN}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$), трапеция $A_1MNB$ является равнобедренной.

3. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

• Основания трапеции: $a = |\vec{A_1B}| = \sqrt{2}$ и $b = |\vec{MN}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Высоту $h$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и отрезком, равным полуразности оснований. Длина этого отрезка: $\frac{a-b}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
• $h^2 = (\text{боковая сторона})^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{5}{4} - \frac{2}{16} = \frac{5}{4} - \frac{1}{8} = \frac{10}{8} - \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.
• $h = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

4. Вычисляем площадь сечения:

$S = \frac{a+b}{2}h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: сечением является равнобедренная трапеция $A_1MNB$, площадь которой равна $\frac{9}{8}$ или $1.125$ кв. ед.