Номер 44, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

44. Точки $K, M, P$ отмечены соответственно на ребрах $AB, SC, SD$ пирамиды $SABCD$ (рис. 27). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью $KMP$.

Для построения сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки $K, M, P$, воспользуемся методом следов. Построение будем выполнять пошагово.

Пошаговое построение:

1. Точки $M$ и $P$ лежат на ребрах $SC$ и $SD$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат одной грани — боковой грани $(SCD)$. Следовательно, мы можем соединить точки $M$ и $P$ отрезком. Отрезок $MP$ является линией пересечения секущей плоскости $(KMP)$ с гранью $(SCD)$.

2. Теперь найдем след секущей плоскости $(KMP)$ на плоскости основания $(ABC)$. След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания. Точка $K$ принадлежит ребру $AB$, которое лежит в плоскости основания, значит, точка $K$ принадлежит искомому следу.

3. Для построения прямой нам нужна вторая точка. Найдем точку пересечения прямой $MP$ (которая лежит в секущей плоскости) с плоскостью основания $(ABC)$. Прямая $MP$ лежит в плоскости $(SCD)$. Плоскость $(SCD)$ пересекается с плоскостью основания $(ABC)$ по прямой $CD$. Следовательно, для нахождения точки пересечения прямой $MP$ с плоскостью $(ABC)$, нужно найти точку пересечения прямых $MP$ и $CD$. Продлим отрезок $MP$ и ребро $CD$ до их пересечения в точке $X$. Точка $X = MP \cap CD$. Так как $X \in MP$, то $X \in (KMP)$. Так как $X \in CD$, то $X \in (ABC)$. Значит, точка $X$ принадлежит следу секущей плоскости на плоскости основания.

4. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие следу секущей плоскости на плоскости основания: $K$ и $X$. Проводим через них прямую $KX$. Прямая $KX$ — это след плоскости $(KMP)$ на плоскости $(ABC)$.

5. След $KX$ пересекает ребра основания пирамиды. Точка $K$ уже лежит на ребре $AB$. Найдем точку пересечения прямой $KX$ с ребром $BC$. Обозначим эту точку как $L$. $L = KX \cap BC$. Отрезок $KL$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью основания $(ABCD)$.

6. Теперь у нас есть точка $L$ на ребре $BC$ и точка $M$ на ребре $SC$. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $(SBC)$. Соединяем их отрезком $LM$. Отрезок $LM$ — это линия пересечения секущей плоскости с гранью $(SBC)$.

7. Чтобы замкнуть сечение, нужно найти точку на ребре $SA$. Для этого найдем след секущей плоскости на грани $(SAD)$. У нас уже есть точка $P \in SD$. Найдем вторую точку. Продлим прямую $KX$ (след на основании) до пересечения с прямой $AD$. Обозначим точку их пересечения $Y = KX \cap AD$. Точка $Y$ лежит на прямой $AD$, значит $Y \in (SAD)$. Точка $Y$ лежит на прямой $KX$, значит $Y \in (KMP)$. Следовательно, точка $Y$ лежит на линии пересечения плоскостей $(SAD)$ и $(KMP)$.

8. Теперь в плоскости $(SAD)$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: $P$ и $Y$. Проводим через них прямую $PY$. Эта прямая пересечет ребро $SA$ в некоторой точке $N$. $N = PY \cap SA$. Точка $N$ — последняя вершина искомого сечения.

9. Соединяем последовательно все полученные вершины, лежащие на ребрах пирамиды: $K$, $L$, $M$, $P$, $N$.

   • $KL$ на грани $(ABCD)$
   • $LM$ на грани $(SBC)$
   • $MP$ на грани $(SCD)$
   • $PN$ на грани $(SAD)$
   • $NK$ на грани $(SAB)$

   Полученный пятиугольник $KLMPN$ и является искомым сечением пирамиды плоскостью $(KMP)$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $KLMPN$, где точки $L$ и $N$ — точки пересечения секущей плоскости с ребрами $BC$ и $SA$ соответственно, построенные вышеописанным методом.