Номер 41, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

41. В гранях $ABA_1$, $BCB_1$ и на ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $M, N, K$ (рис. 24). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.

Рис. 24

Для построения сечения призмы плоскостью $MNK$ воспользуемся комбинированным методом, сочетающим построение по точкам, принадлежащим одной грани, и свойство параллельности плоскостей.

Построение будет выполнено по шагам:

1. Построение стороны сечения в грани $BCC_1B_1$

   Точки $N$ и $K$ принадлежат плоскости грани $BCC_1B_1$. Следовательно, прямая $NK$ является линией пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью этой грани. Проведём прямую через точки $N$ и $K$. Эта прямая пересекает рёбра грани. Точка $K$ уже лежит на ребре $CC_1$. Найдём точку пересечения прямой $NK$ с ребром $BB_1$. Обозначим эту точку как $P$. Отрезок $PK$ является стороной искомого сечения. Точка $P$ лежит на ребре $BB_1$, а точка $K$ — на ребре $CC_1$.

2. Построение стороны сечения в грани $ABB_1A_1$

   Точка $M$ по условию лежит в грани $ABB_1A_1$. Точка $P$, построенная в предыдущем шаге, лежит на ребре $BB_1$, которое также принадлежит этой грани. Следовательно, точки $M$ и $P$ лежат в одной плоскости $(ABB_1A_1)$. Проведём прямую через точки $M$ и $P$. Эта прямая является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $ABB_1A_1$. Найдём точку пересечения прямой $MP$ с ребром $AA_1$. Обозначим эту точку как $Q$. Отрезок $PQ$ является второй стороной искомого сечения.

3. Построение стороны сечения в грани $ADD_1A_1$

   Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ призмы параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость $(MNK)$ пересекает их по параллельным прямым. Мы уже знаем, что плоскость $(MNK)$ пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $NK$. Следовательно, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна быть параллельна прямой $NK$. Точка $Q$, построенная в шаге 2, лежит на ребре $AA_1$ и, следовательно, принадлежит грани $ADD_1A_1$. Проведём через точку $Q$ прямую, параллельную прямой $NK$. Найдём точку пересечения этой прямой с ребром $DD_1$. Обозначим эту точку как $R$. Отрезок $QR$ — третья сторона сечения.

4. Завершение построения сечения

   Мы получили четыре вершины сечения, лежащие на боковых рёбрах призмы: $P$ на $BB_1$, $Q$ на $AA_1$, $R$ на $DD_1$ и $K$ на $CC_1$. Чтобы завершить построение, соединим оставшиеся вершины. Точки $R$ и $K$ лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $RK$. В результате мы получили замкнутый четырёхугольник $PQRK$. Этот четырёхугольник и является искомым сечением призмы плоскостью $(MNK)$.

Ниже представлен рисунок с результатом построения:

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, построенный в соответствии с описанными шагами. В данном примере это четырёхугольник $PQRK$, вершины которого лежат на рёбрах $BB_1$, $AA_1$, $DD_1$ и $CC_1$ соответственно.