Номер 45, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

45. На ребрах $SA$, $SC$, $SD$ пирамиды $SABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $P$, $K$ (рис. 28). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью $MPK$.

Рис. 28

Для построения сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки $M, P, K$, необходимо последовательно найти линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды. Искомое сечение будет представлять собой многоугольник, вершинами которого являются точки $M, P, K$ и другие точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды.

1. Построение отрезков сечения, лежащих на известных гранях

Точки $P$ и $K$ принадлежат ребрам $SC$ и $SD$ соответственно, которые образуют грань $(SCD)$. Так как обе точки лежат в плоскости этой грани, то отрезок $PK$ является линией пересечения секущей плоскости $(MPK)$ с гранью $(SCD)$. Таким образом, $PK$ — одна из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки $M$ и $K$ принадлежат ребрам $SA$ и $SD$, которые образуют грань $(SAD)$. Следовательно, отрезок $MK$ является линией пересечения секущей плоскости $(MPK)$ с гранью $(SAD)$ и также является стороной сечения.

2. Определение плана для нахождения остальных сторон сечения

Секущая плоскость также пересекает грани $(SAB)$ и $(SBC)$. Чтобы построить соответствующие отрезки сечения, необходимо найти точку пересечения плоскости $(MPK)$ с ребром $SB$. Обозначим эту точку $L$. Для нахождения точки $L$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

3. Построение прямой пересечения секущей плоскости и вспомогательной плоскости

В качестве вспомогательной плоскости выберем диагональную плоскость $(SBD)$, так как она содержит искомое ребро $SB$. Найдем прямую, по которой секущая плоскость $(MPK)$ пересекается с плоскостью $(SBD)$. Для этого нам нужно найти две общие точки этих плоскостей.

Первая общая точка — это точка $K$, так как по условию $K \in SD$, а ребро $SD$ лежит в плоскости $(SBD)$, то есть $K \in (SBD)$. Также по условию $K \in (MPK)$.

Для нахождения второй общей точки рассмотрим другую диагональную плоскость — $(SAC)$. В ней лежат точки $M$ и $P$. Проведем через них прямую $MP$. В основании пирамиды проведем диагонали $AC$ и $BD$. Обозначим точку их пересечения $O = AC \cap BD$. Прямая $SO$ является линией пересечения плоскостей $(SAC)$ и $(SBD)$. Так как прямые $MP$ и $SO$ лежат в одной плоскости $(SAC)$, мы можем найти их точку пересечения. Обозначим ее $O' = MP \cap SO$.

Точка $O'$ принадлежит прямой $MP$, а значит и секущей плоскости $(MPK)$. Точка $O'$ также принадлежит прямой $SO$, а значит и вспомогательной плоскости $(SBD)$. Следовательно, $O'$ — это вторая общая точка плоскостей $(MPK)$ и $(SBD)$.

Таким образом, прямая $KO'$ является линией пересечения плоскостей $(MPK)$ и $(SBD)$.

4. Нахождение четвертой вершины сечения

Искомая точка $L$ является точкой пересечения ребра $SB$ с секущей плоскостью $(MPK)$. Поскольку ребро $SB$ и прямая $KO'$ лежат в одной плоскости $(SBD)$, они пересекутся (в общем случае). Точка их пересечения и есть искомая вершина сечения $L$.

$L = SB \cap KO'$.

5. Завершение построения сечения

Теперь найдены все вершины сечения: $M, P, L, K$. Соединив их последовательно, получаем искомое сечение. Отрезок $ML$ лежит в грани $(SAB)$, а отрезок $LP$ — в грани $(SBC)$.

Искомым сечением является четырехугольник $MPLK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MPLK$.