Номер 43, страница 10 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

43. На ребрах $AM, MN, AK$ пирамиды $AMNK$ отмечены соответственно точки $U, V, W$ (рис. 26). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью $UVW$.

Рис. 26

Для построения сечения пирамиды AMNK плоскостью UVW выполним следующие шаги, основанные на аксиомах стереометрии и их следствиях.

1. Построение отрезков сечения, лежащих на видимых гранях.

   Точки U и W принадлежат ребрам AM и AK соответственно. Оба этих ребра лежат в плоскости грани AMK. Следовательно, мы можем соединить точки U и W отрезком, который будет являться линией пересечения секущей плоскости (UVW) с гранью (AMK).

   Аналогично, точки U и V принадлежат ребрам AM и MN, которые лежат в плоскости грани AMN. Соединяем точки U и V отрезком. Отрезок UV — это линия пересечения секущей плоскости (UVW) с гранью (AMN).

   Таким образом, отрезки UW и UV являются сторонами искомого многоугольника сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

   Чтобы найти остальные стороны сечения, необходимо найти линию пересечения (след) секущей плоскости (UVW) с плоскостью основания (MNK). Для построения прямой достаточно двух точек.

   Одна точка у нас уже есть — это точка V, так как она по условию лежит на ребре MN, а значит, принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

   Вторую точку найдем как точку пересечения прямой, лежащей в секущей плоскости, с прямой, лежащей в плоскости основания. Рассмотрим грань (AMK). В ней лежат прямая UW (принадлежит секущей плоскости) и прямая MK (принадлежит плоскости основания). Так как эти прямые лежат в одной плоскости (AMK) и не параллельны (в общем случае), они пересекаются. Продлим отрезки UW и MK до их пересечения в точке, которую назовем P. $P = UW \cap MK$.

   Точка P принадлежит прямой UW, следовательно, $P \in (UVW)$. Точка P принадлежит прямой MK, следовательно, $P \in (MNK)$. Таким образом, P — вторая общая точка двух плоскостей.

   Прямая, проходящая через точки P и V, является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Нахождение недостающих вершин сечения.

   След PV лежит в плоскости основания (MNK). Эта прямая пересекает ребро NK в некоторой точке. Обозначим эту точку Q. $Q = PV \cap NK$.

   Точка Q принадлежит ребру NK и, в то же время, принадлежит секущей плоскости (UVW), так как лежит на следе PV. Следовательно, Q — это четвертая вершина нашего сечения.

4. Завершение построения сечения.

   Мы нашли все вершины сечения: U, V, Q, W. Соединим их последовательно.

   Отрезок VQ соединяет точки на ребрах MN и NK, он лежит в плоскости основания (MNK).

   Осталось соединить точки Q и W. Обе точки лежат в плоскости задней грани (ANK) (W на ребре AK, Q на ребре NK). Отрезок WQ является последней стороной сечения.

   В результате построен четырехугольник UVQW, который и является искомым сечением пирамиды плоскостью UVW.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник UVQW. Построение выполняется в следующем порядке: 1. Проводятся отрезки UV и UW. 2. Находится точка $P = UW \cap MK$. 3. Проводится прямая PV. 4. Находится точка $Q = PV \cap NK$. 5. Строится искомый четырехугольник UVQW.