Номер 40, страница 9 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

40. В грани $ABA_1$ и на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $X, Y, Z$ (рис. 23). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $XYZ$.

Рис. 23

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки X, Y и Z, воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в построении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней призмы.

1. Построение следа на грани $BCC_1B_1$

   Точки Y и Z лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ соответственно. Так как эти ребра принадлежат одной боковой грани $BCC_1B_1$, то отрезок YZ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Построение следа на грани $ABB_1A_1$

   Точка X лежит в грани $ABB_1A_1$ (исходя из стандартного обозначения граней), а точка Y — на ребре $BB_1$ этой же грани. Следовательно, прямая, проходящая через точки X и Y, является следом секущей плоскости на плоскости грани $ABB_1A_1$. Продлим эту прямую до пересечения с ребром $AA_1$ в точке K. Отрезок KY — это вторая сторона искомого сечения.

3. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$

   Для нахождения дальнейших точек сечения построим след секущей плоскости на плоскости нижнего основания призмы. Для этого найдем две точки, принадлежащие одновременно и секущей плоскости, и плоскости основания.

   • Первая точка: Прямые YZ и BC лежат в одной плоскости ($BCC_1B_1$). Найдем их точку пересечения, продлив соответствующие отрезки. Обозначим эту точку $P_1$. Точка $P_1$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой YZ) и плоскости основания (так как лежит на прямой BC).
   • Вторая точка: Прямые KY и AB лежат в одной плоскости ($ABB_1A_1$). Найдем их точку пересечения, продлив соответствующие отрезки. Обозначим эту точку $P_2$. Точка $P_2$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой KY) и плоскости основания (так как лежит на прямой AB).

   Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.

4. Нахождение остальных вершин сечения и завершение построения

   Теперь найдем, где след $P_1P_2$ пересекает ребра основания призмы.

   • Пусть прямая $P_1P_2$ пересекает ребро CD в точке M.
   • Пусть прямая $P_1P_2$ пересекает ребро AD в точке N.

   Точки M и N являются вершинами искомого сечения. Теперь последовательно соединим все найденные вершины сечения отрезками, лежащими на гранях призмы:

   • KY (на грани $ABB_1A_1$)
   • YZ (на грани $BCC_1B_1$)
   • ZM (точки Z и M лежат в грани $CDD_1C_1$)
   • MN (на основании $ABCD$)
   • NK (точки N и K лежат в грани $ADD_1A_1$)

   В результате построен пятиугольник KYZMN, который и является искомым сечением призмы.

   

Ответ: Искомым сечением является пятиугольник KYZMN, построенный согласно приведенному алгоритму.