Номер 49, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

49. Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AB, BC$ и $CC_1$ соответственно куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сделайте такой рисунок в тетради, постройте сечение куба плоскостью $\alpha$ и найдите площадь сечения, учитывая, что ребро куба равно единице.

Построение сечения

Обозначим заданные точки: M - середина ребра AB, N - середина ребра BC, P - середина ребра CC₁. Плоскость α проходит через эти три точки.

1. Поскольку точки M и N лежат в одной грани (нижнем основании ABCD), мы можем соединить их отрезком. Отрезок MN - это одна из сторон искомого сечения.
2. Аналогично, точки N и P лежат в одной грани (правой боковой грани BCC₁B₁), поэтому соединяем их. Отрезок NP - еще одна сторона сечения.
3. Для построения остальных сторон воспользуемся свойством параллельных плоскостей: секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
4. Грань ADD₁A₁ (левая боковая) параллельна грани BCC₁B₁. Следовательно, линия пересечения плоскости α с гранью ADD₁A₁ должна быть параллельна линии пересечения с гранью BCC₁B₁, то есть прямой NP.
5. Грань A₁B₁C₁D₁ (верхнее основание) параллельна грани ABCD (нижнее основание). Следовательно, линия пересечения плоскости α с верхним основанием должна быть параллельна прямой MN.
6. Чтобы применить эти свойства, найдем еще одну вершину сечения. Рассмотрим диагональную плоскость ACC₁A₁. Прямая MN является средней линией треугольника ABC, поэтому $MN \parallel AC$. Так как прямая AC лежит в плоскости ACC₁A₁, то прямая MN параллельна этой плоскости.
7. Плоскость сечения α проходит через прямую MN и пересекает плоскость ACC₁A₁ (в которой лежит точка P). Линия их пересечения должна быть параллельна MN (а значит, и AC). Проведем в плоскости ACC₁A₁ через точку P (середину CC₁) прямую, параллельную AC. Эта прямая пересечет ребро AA₁ в его середине. Обозначим эту точку Q.
8. Теперь у нас есть точка Q на грани ABB₁A₁ и на грани ADD₁A₁. Соединив Q с M, получим сторону QM в грани ABB₁A₁.
9. Проведем через точку Q в грани ADD₁A₁ прямую, параллельную NP. Она пересечет ребро A₁D₁ в его середине. Обозначим эту точку R. Получим сторону QR.
10. Проведем через точку R в грани A₁B₁C₁D₁ прямую, параллельную MN. Она пересечет ребро C₁D₁ в его середине. Обозначим эту точку S. Получим сторону RS.
11. Наконец, соединим точку S (середину C₁D₁) и точку P (середину CC₁), которые лежат в одной грани DCC₁D₁. Получим сторону SP.

Таким образом, все вершины сечения найдены. Это шестиугольник MNPSQR, вершинами которого являются середины ребер AB, BC, CC₁, C₁D₁, D₁A₁ и AA₁.

Ответ: Сечением является правильный шестиугольник MNPSQR, вершины которого — середины ребер куба AB, BC, CC₁, C₁D₁, D₁A₁ и AA₁.

Нахождение площади сечения

Для нахождения площади сечения введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину куба D в начало координат, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер DA, DC и DD₁ соответственно. Поскольку ребро куба равно единице, вершины куба будут иметь следующие координаты: A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,0), A₁(1,0,1), B₁(1,1,1), C₁(0,1,1), D₁(0,0,1).

Найдем координаты вершин шестиугольника MNPSQR, которые являются серединами соответствующих ребер:

• M (середина AB): $M = (\frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}) = (1; 0.5; 0)$
• N (середина BC): $N = (\frac{1+0}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+0}{2}) = (0.5; 1; 0)$
• P (середина CC₁): $P = (\frac{0+0}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}) = (0; 1; 0.5)$
• S (середина C₁D₁): $S = (\frac{0+0}{2}; \frac{1+0}{2}; \frac{1+1}{2}) = (0; 0.5; 1)$
• R (середина D₁A₁): $R = (\frac{0+1}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{1+1}{2}) = (0.5; 0; 1)$
• Q (середина AA₁): $Q = (\frac{1+1}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+1}{2}) = (1; 0; 0.5)$

Найдем длину одной из сторон шестиугольника, например, MN, по формуле расстояния между двумя точками: $s = MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2 + (z_N-z_M)^2}$ $s = \sqrt{(0.5-1)^2 + (1-0.5)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0.5^2 + 0^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В силу симметрии задачи, все стороны шестиугольника равны, то есть $MN=NP=PS=SR=RQ=QM = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы доказать, что шестиугольник правильный, найдем один из его углов, например, $\angle MNP$, используя скалярное произведение векторов $\vec{NM}$ и $\vec{NP}$. $\vec{NM} = (1-0.5; 0.5-1; 0-0) = (0.5; -0.5; 0)$ $\vec{NP} = (0-0.5; 1-1; 0.5-0) = (-0.5; 0; 0.5)$ $\cos(\angle MNP) = \frac{\vec{NM} \cdot \vec{NP}}{|\vec{NM}| \cdot |\vec{NP}|} = \frac{(0.5)(-0.5) + (-0.5)(0) + (0)(0.5)}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$ Отсюда $\angle MNP = 120^\circ$.

Так как все стороны шестиугольника равны и все углы равны $120^\circ$, сечение является правильным шестиугольником со стороной $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$. Подставим значение стороны: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$