Номер 54, страница 12 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

54. Точки $M, N, K$ выбраны на боковых ребрах призмы $ABCA_1B_1C_1$ так, что $AM = 5, BN = 7, CK = 12$. Найдите расстояние между серединами $Q$ и $Q_1$ медиан $AL$ и $ML_1$ треугольников $ABC$ и $MNK$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем начало отсчета в точке $A$ призмы, так что радиус-вектор $\vec{A} = \vec{0}$. Обозначим радиус-векторы вершин основания призмы $\vec{B} = \vec{b}$ и $\vec{C} = \vec{c}$.

Пусть $\vec{e}$ — единичный вектор, сонаправленный с боковыми ребрами призмы. Поскольку точки $M, N, K$ лежат на боковых ребрах $AA_1, BB_1, CC_1$ соответственно, и даны длины отрезков $AM=5, BN=7, CK=12$, мы можем выразить их радиус-векторы:

$\vec{M} = \vec{A} + AM \cdot \vec{e} = 5\vec{e}$

$\vec{N} = \vec{B} + BN \cdot \vec{e} = \vec{b} + 7\vec{e}$

$\vec{K} = \vec{C} + CK \cdot \vec{e} = \vec{c} + 12\vec{e}$

Далее найдем радиус-векторы точек $Q$ и $Q_1$.

Нахождение радиус-вектора точки Q

$AL$ — медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $L$ является серединой стороны $BC$. Ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов точек $B$ и $C$:

$\vec{L} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$

Точка $Q$ — середина медианы $AL$. Ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов точек $A$ и $L$:

$\vec{Q} = \frac{\vec{A} + \vec{L}}{2} = \frac{\vec{0} + \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{4}$

Нахождение радиус-вектора точки Q₁

$ML_1$ — медиана треугольника $MNK$, следовательно, $L_1$ — середина стороны $NK$. Радиус-вектор точки $L_1$ равен полусумме радиус-векторов точек $N$ и $K$:

$\vec{L_1} = \frac{\vec{N} + \vec{K}}{2} = \frac{(\vec{b} + 7\vec{e}) + (\vec{c} + 12\vec{e})}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + 19\vec{e}}{2}$

Точка $Q_1$ — середина медианы $ML_1$. Ее радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов точек $M$ и $L_1$:

$\vec{Q_1} = \frac{\vec{M} + \vec{L_1}}{2} = \frac{5\vec{e} + \frac{\vec{b} + \vec{c} + 19\vec{e}}{2}}{2} = \frac{10\vec{e} + \vec{b} + \vec{c} + 19\vec{e}}{4} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + 29\vec{e}}{4}$

Вычисление расстояния между Q и Q₁

Искомое расстояние является длиной (модулем) вектора $\vec{QQ_1}$. Найдем этот вектор, вычитая радиус-вектор начальной точки из радиус-вектора конечной:

$\vec{QQ_1} = \vec{Q_1} - \vec{Q} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + 29\vec{e}}{4} - \frac{\vec{b} + \vec{c}}{4} = \frac{29\vec{e}}{4}$

Длина вектора $\vec{QQ_1}$ вычисляется как:

$|\vec{QQ_1}| = |\frac{29\vec{e}}{4}| = \frac{29}{4} |\vec{e}|$

Поскольку $\vec{e}$ — единичный вектор, его модуль $|\vec{e}| = 1$. Таким образом, расстояние между точками $Q$ и $Q_1$ равно:

$QQ_1 = \frac{29}{4} = 7,25$

Ответ: $7,25$