Номер 61, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

61. Прямая $a$ пересекает плоскость треугольника $ABC$, точки $M$ и $P$ выбраны на прямой $BC$, а точки $N$ и $Q$ — на прямой $a$ (рис. 33). Верно ли, что прямые $MN$ и $PQ$ параллельны?

Рис. 33

Нет, данное утверждение в общем случае не верно.

Для того чтобы две прямые в пространстве были параллельны, они должны лежать в одной плоскости и не пересекаться. Рассмотрим, лежат ли прямые MN и PQ в одной плоскости.

Прямые MN и PQ будут лежать в одной плоскости, только если все четыре точки M, N, P, Q лежат в одной плоскости. Точки M и P лежат на прямой BC, а точки N и Q лежат на прямой a. Если все четыре точки лежат в одной плоскости, то и прямые BC и a, на которых они находятся, должны лежать в этой же плоскости.

Две прямые лежат в одной плоскости, если они либо пересекаются, либо параллельны.

1. Если прямая a параллельна прямой BC, то она будет параллельна и всей плоскости треугольника ABC (или лежать в ней), что противоречит условию, что прямая a пересекает плоскость.
2. Если прямая a пересекает прямую BC, то они лежат в одной плоскости. Пусть они пересекаются в точке O. Тогда точки O, M, P лежат на одной прямой, а точки O, N, Q — на другой. В этом случае прямые MN и PQ параллельны тогда и только тогда, когда треугольники OMN и OPQ подобны по двум сторонам и углу между ними (угол при вершине O общий). Для подобия необходимо выполнение условия пропорциональности сторон: $$ \frac{OM}{OP} = \frac{ON}{OQ} $$ Поскольку точки M, P на прямой BC и N, Q на прямой a выбираются произвольно, это равенство в общем случае не выполняется. Следовательно, даже в этом частном случае прямые MN и PQ не обязательно параллельны.

В общем же случае, как и показано на рисунке, прямая a пересекает плоскость ABC, но не пересекает прямую BC. В такой ситуации прямые a и BC являются скрещивающимися, то есть не лежат в одной плоскости. Тогда и прямые MN и PQ, соединяющие точки на этих скрещивающихся прямых, в общем случае также являются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не могут быть параллельными.

Таким образом, утверждение не является верным.

Ответ: Нет, не верно.