Номер 63, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

63. Прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, прямые $c$ и $d$ их пересекают. Верно ли, что прямые $c$ и $d$ также скрещивающиеся?

Нет, данное утверждение неверно. Прямые c и d не обязательно являются скрещивающимися. Они могут пересекаться. Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим случай, когда прямые c и d пересекаются.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые a и b.

1. Выберем на прямой a произвольную точку A.

2. Выберем на прямой b две различные точки: B₁ и B₂.

3. Проведем прямую c через точки A и B₁. По построению, прямая c пересекает прямую a (в точке A) и прямую b (в точке B₁). Таким образом, прямая c удовлетворяет условию задачи.

4. Проведем прямую d через точки A и B₂. По построению, прямая d также пересекает прямую a (в точке A) и прямую b (в точке B₂). Прямая d тоже удовлетворяет условию задачи.

Прямые c и d имеют общую точку A, следовательно, они пересекаются в этой точке. Поскольку точки B₁ и B₂ различны, прямые c и d не совпадают.

Мы построили пример, в котором прямые c и d пересекаются. Это означает, что они не являются скрещивающимися в данном случае. Следовательно, утверждение о том, что они всегда скрещивающиеся, неверно.

Примечание: В заданных условиях прямые c и d могут быть либо скрещивающимися (что является общим случаем), либо пересекающимися. Они не могут быть параллельными. Если бы прямые c и d были параллельны, они бы лежали в одной плоскости. Тогда в этой же плоскости лежали бы и все четыре точки их пересечения с прямыми a и b. А если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Это означало бы, что прямые a и b лежат в одной плоскости, что противоречит условию их скрещивания.

Ответ: Нет, неверно.