Номер 70, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

70. Даны попарно скрещивающиеся прямые $a$, $b$ и $c$. Существует ли прямая, параллельная $a$, пересекающая прямые $b$ и $c$?

Для решения этой задачи рассмотрим два вспомогательных построения.

1. Построим плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$. Такую плоскость можно построить, так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Для этого достаточно через любую точку на прямой $b$ провести прямую $a'$, параллельную $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются и задают единственную плоскость $\alpha$.

2. Аналогично построим плоскость $\beta$, которая проходит через прямую $c$ и параллельна прямой $a$. Такое построение возможно, так как $a$ и $c$ скрещиваются.

Теперь рассмотрим взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Обе плоскости по построению параллельны прямой $a$. Возможны два случая:

Случай 1: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Пусть плоскости пересекаются по некоторой прямой $d$. Так как $\alpha \parallel a$ и $\beta \parallel a$, то их линия пересечения $d$ также параллельна прямой $a$ ($d \parallel a$).

Рассмотрим прямую $d$ и прямую $b$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\alpha$. Они не могут быть параллельны, так как если бы $d \parallel b$, то из $d \parallel a$ следовало бы, что $a \parallel b$, что противоречит условию (прямые $a$ и $b$ скрещиваются). Следовательно, прямые $d$ и $b$ пересекаются.

Рассмотрим прямую $d$ и прямую $c$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\beta$. Они не могут быть параллельны, так как если бы $d \parallel c$, то из $d \parallel a$ следовало бы, что $a \parallel c$, что противоречит условию (прямые $a$ и $c$ скрещиваются). Следовательно, прямые $d$ и $c$ пересекаются.

Таким образом, прямая $d$ параллельна прямой $a$ и пересекает прямые $b$ и $c$. В этом случае искомая прямая существует.

Случай 2: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ будут параллельны, если направляющие векторы прямых $a$, $b$ и $c$ компланарны (линейно зависимы). Можно привести пример, когда это условие выполняется, а прямые остаются попарно скрещивающимися. Например, если прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны некоторой плоскости, но не параллельны друг другу.

Пусть $\alpha \parallel \beta$. Так как прямые $b$ и $c$ скрещиваются, они не лежат в одной плоскости, поэтому плоскости $\alpha$ и $\beta$ не совпадают ($\alpha \neq \beta$). В этом случае мы имеем прямую $b$, лежащую в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$), и прямую $c$, лежащую в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$), где $\alpha$ и $\beta$ — две различные параллельные плоскости.

Искомая прямая $d$ должна пересекать $b$ и $c$, то есть соединять точку на $b$ с точкой на $c$. Следовательно, она должна пересекать обе плоскости $\alpha$ и $\beta$. Однако, по условию, прямая $d$ должна быть параллельна прямой $a$. А прямая $a$, в свою очередь, параллельна обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Если $d \parallel a$, то $d$ также параллельна плоскостям $\alpha$ и $\beta$. Но прямая, параллельная двум различным параллельным плоскостям, не может их пересекать. Возникает противоречие. Значит, в этом случае искомой прямой не существует.

Поскольку существует случай, когда такая прямая не существует, на поставленный вопрос следует дать отрицательный ответ.

Ответ: Нет, такая прямая существует не всегда.