Номер 74, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

74. Даны скрещивающиеся прямые $a$, $b$ и точка $C$. Плоскость, проходящая через точку $C$ и прямую $b$, пересекает прямую $a$ в точке $A$, а плоскость, проходящая через точку $C$ и прямую $a$, пересекает прямую $b$ в точке $B$. Докажите, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Даны скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $C$.

Пусть $\alpha$ – это плоскость, проходящая через точку $C$ и прямую $b$. По условию, плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$ в точке $A$. Из этого следует, что точка $A$ принадлежит и прямой $a$, и плоскости $\alpha$.

Пусть $\beta$ – это плоскость, проходящая через точку $C$ и прямую $a$. По условию, плоскость $\beta$ пересекает прямую $b$ в точке $B$. Из этого следует, что точка $B$ принадлежит и прямой $b$, и плоскости $\beta$.

Рассмотрим принадлежность точек $A$, $B$ и $C$ к плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

1. Точка $C$ по построению принадлежит обеим плоскостям: $C \in \alpha$ и $C \in \beta$.

2. Точка $A$ принадлежит прямой $a$. Так как плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, то вся прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Следовательно, точка $A$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($A \in \beta$). Из условия мы знаем, что $A \in \alpha$. Таким образом, точка $A$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

3. Точка $B$ принадлежит прямой $b$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через прямую $b$, то вся прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). Следовательно, точка $B$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$). Из условия мы знаем, что $B \in \beta$. Таким образом, точка $B$ также является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Итак, все три точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат как плоскости $\alpha$, так и плоскости $\beta$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся, они не могут лежать в одной плоскости. Это означает, что плоскости $\alpha$ (содержащая прямую $b$) и $\beta$ (содержащая прямую $a$) не совпадают, то есть $\alpha \neq \beta$.

Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на этой прямой.

Так как точки $A$, $B$ и $C$ являются общими для двух различных плоскостей $\alpha$ и $\beta$, они должны лежать на прямой их пересечения. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, которая является линией пересечения плоскости, проходящей через точку $C$ и прямую $a$, и плоскости, проходящей через точку $C$ и прямую $b$.