Номер 80, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

80. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны единице. Найдите угол между прямыми:

а) $AB_1$ и $FD_1$;

б) $AB_1$ и $DF_1$;

в) $AB_1$ и $CD_1$;

г) $AB_1$ и $CF_1$;

д) $AB_1$ и $DC_1$;

е) $AB_1$ и $BE_1$;

ж) $AB_1$ и $BC_1$;

з) $AB_1$ и $A_1F$;

и) $AB_1$ и $A_1E$.

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с центром в центре нижнего основания призмы $O(0, 0, 0)$. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси Ox. Поскольку призма правильная и все ребра равны 1, сторона основания равна 1 и высота призмы равна 1.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$:

• $A(1, 0, 0)$
• $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D(-1, 0, 0)$
• $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$:

• $A_1(1, 0, 1)$
• $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D_1(-1, 0, 1)$
• $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
• $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Угол $\alpha$ между двумя скрещивающимися прямыми находится как угол между их направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) $AB_1$ и $FD_1$

Найдем направляющие векторы для прямых $AB_1$ и $FD_1$.

Для прямой $AB_1$ направляющий вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Для прямой $FD_1$ направляющий вектор $\vec{FD_1} = D_1 - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{FD_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{FD_1} = (-1/2)(-3/2) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (1)(1) = 3/4 + 3/4 + 1 = 5/2$.

Найдем косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|5/2|}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{5}{4\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{5\sqrt{2}}{8}\right)$.

б) $AB_1$ и $DF_1$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $DF_1$:

$\vec{DF_1} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Модуль вектора $|\vec{DF_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{DF_1} = (-1/2)(3/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (1)(1) = -3/4 - 3/4 + 1 = -1/2$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|-1/2|}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right)$.

в) $AB_1$ и $CD_1$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $CD_1$:

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Модуль вектора $|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{2}$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CD_1} = (-1/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (1)(1) = 1/4 - 3/4 + 1 = 1/2$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|1/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.

г) $AB_1$ и $CF_1$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $CF_1$:

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$.

Модуль вектора $|\vec{CF_1}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{CF_1} = (-1/2)(1) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (1)(1) = -1/2 - 3/2 + 1 = -1$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$.

д) $AB_1$ и $DC_1$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $DC_1$:

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (-1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Модуль вектора $|\vec{DC_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{2}$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{DC_1} = (-1/2)(1/2) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (1)(1) = -1/4 + 3/4 + 1 = 3/2$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|3/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{4}\right)$.

е) $AB_1$ и $BE_1$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $BE_1$:

$\vec{BE_1} = E_1 - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.

Модуль вектора $|\vec{BE_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BE_1} = (-1/2)(-1) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (1)(1) = 1/2 - 3/2 + 1 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и угол между прямыми составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

ж) $AB_1$ и $BC_1$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $BC_1$:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Модуль вектора $|\vec{BC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = (-1/2)(-1) + (\sqrt{3}/2)(0) + (1)(1) = 1/2 + 1 = 3/2$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|3/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{4}\right)$.

з) $AB_1$ и $A_1F$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $A_1F$:

$\vec{A_1F} = F - A_1 = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, -1)$.

Модуль вектора $|\vec{A_1F}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{2}$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1F} = (-1/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (1)(-1) = 1/4 - 3/4 - 1 = -3/2$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|-3/2|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{4}\right)$.

и) $AB_1$ и $A_1E$

Вектор $\vec{AB_1} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ и его модуль $|\vec{AB_1}| = \sqrt{2}$.

Найдем направляющий вектор для прямой $A_1E$:

$\vec{A_1E} = E - A_1 = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 1) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, -1)$.

Модуль вектора $|\vec{A_1E}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Скалярное произведение:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{A_1E} = (-1/2)(-3/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (1)(-1) = 3/4 - 3/4 - 1 = -1$.

Косинус угла:

$\cos \alpha = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.