Номер 85, страница 16 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

85. Плоскость $\alpha$ и прямая $a$ параллельны, прямая $b$ пересекает прямую $a$. Каким может быть расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$?

По условию задачи, плоскость $\alpha$ и прямая $a$ параллельны ($a \parallel \alpha$), а прямая $b$ пересекает прямую $a$. Обозначим точку пересечения прямых $a$ и $b$ как $M$. Таким образом, $M \in a$ и $M \in b$.

Рассмотрим все возможные варианты взаимного расположения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Таких вариантов три: прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$, или прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

1. Проверим, может ли прямая $b$ лежать в плоскости $\alpha$. Из условия, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, следует, что у них нет общих точек. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), то точка $M$ не может принадлежать плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).В то же время, точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$). Если бы прямая $b$ лежала в плоскости $\alpha$, то все ее точки, включая $M$, должны были бы принадлежать этой плоскости. Это противоречит тому, что $M \notin \alpha$. Следовательно, прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$.

2. Проверим, может ли прямая $b$ быть параллельной плоскости $\alpha$. Да, этот случай возможен. Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, они задают единственную плоскость, назовем ее $\beta$. Если эта плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ ($ \beta \parallel \alpha $), то любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$ (в том числе и прямая $b$), будет параллельна плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая $b$ может быть параллельна плоскости $\alpha$.

3. Проверим, может ли прямая $b$ пересекать плоскость $\alpha$. Да, этот случай также возможен. Рассмотрим плоскость $\beta$, заданную пересекающимися прямыми $a$ и $b$. Если плоскость $\beta$ не параллельна плоскости $\alpha$, то она пересекает ее по некоторой прямой $c$. Так как $a \subset \beta$ и $a \parallel \alpha$, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскостей $c$ параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$). В плоскости $\beta$ прямая $b$ пересекает прямую $a$. Поскольку $a \parallel c$, прямая $b$ пересечет и прямую $c$ в некоторой точке $N$. Точка $N$ принадлежит прямой $b$ и прямой $c$. А так как $c \subset \alpha$, то точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, $N$ является точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая $b$ может пересекать плоскость $\alpha$.

Из анализа всех вариантов следует, что для прямой $b$ возможны два расположения относительно плоскости $\alpha$.

Ответ: Прямая $b$ может пересекать плоскость $\alpha$ или быть параллельной плоскости $\alpha$.