Номер 89, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

89. Точки $P, Q, R, K$ выбраны соответственно на ребрах $SA, SB, SC$ и в грани $ABC$ треугольной пирамиды $SABC$ (рис. 41). Объясните, как найти точку пересечения прямой $SK$ с плоскостью $PQR$.

Рис. 41

Для нахождения точки пересечения прямой $SK$ с плоскостью $PQR$ используется метод вспомогательной плоскости. Алгоритм построения искомой точки следующий:

1. Построение вспомогательной плоскости.

Проведем через прямую $SK$ вспомогательную плоскость. Поскольку точка $S$ является вершиной пирамиды, а точка $K$ лежит в плоскости основания $ABC$, удобно в качестве вспомогательной плоскости выбрать плоскость, проходящую через прямую $SK$ и одну из вершин основания, например, $A$. Таким образом, мы получаем вспомогательную плоскость $(SAK)$. Прямая $SK$ по построению лежит в этой плоскости.

2. Нахождение линии пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SAK)$.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой. Для ее построения найдем две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Первая общая точка: Точка $P$ по условию лежит на ребре $SA$. Ребро $SA$ принадлежит плоскости $(SAK)$, поэтому точка $P$ также принадлежит этой плоскости. По определению, $P$ лежит в плоскости $(PQR)$. Следовательно, $P$ — первая общая точка плоскостей $(PQR)$ и $(SAK)$.

Вторая общая точка: Для ее нахождения найдем линии пересечения (следы) плоскостей $(PQR)$ и $(SAK)$ с плоскостью основания $(ABC)$.

• След плоскости $(SAK)$ на плоскости $(ABC)$ — это прямая $AK$.
• След плоскости $(PQR)$ на плоскости $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точки пересечения сторон сечения со сторонами основания. Построим эти точки:
  • Прямые $PQ$ и $AB$ лежат в плоскости $(SAB)$, найдем их точку пересечения: $M_1 = PQ \cap AB$.
  • Прямые $PR$ и $AC$ лежат в плоскости $(SAC)$, найдем их точку пересечения: $M_2 = PR \cap AC$.
  Прямая $M_1M_2$ является следом плоскости $(PQR)$ на плоскости $(ABC)$.

Теперь найдем точку пересечения этих двух следов. Прямые $AK$ и $M_1M_2$ лежат в плоскости $(ABC)$. Обозначим их точку пересечения $T$. Точка $T$ принадлежит обеим плоскостям $(SAK)$ и $(PQR)$, так как лежит на их следах. Следовательно, $T$ — вторая общая точка.

Линией пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SAK)$ является прямая $PT$.

3. Нахождение искомой точки.

Искомая точка $X$ является точкой пересечения исходной прямой $SK$ и построенной прямой $PT$. Обе эти прямые лежат в одной вспомогательной плоскости $(SAK)$, поэтому их пересечение можно найти (в общем случае, когда они не параллельны).

$X = SK \cap PT$.

Точка $X$ принадлежит прямой $SK$ и прямой $PT$. Так как прямая $PT$ лежит в плоскости $(PQR)$, то и точка $X$ принадлежит плоскости $(PQR)$. Таким образом, $X$ — искомая точка пересечения прямой $SK$ с плоскостью $(PQR)$.

Ответ: Чтобы найти точку пересечения $X$ прямой $SK$ с плоскостью $PQR$, необходимо выполнить следующие построения: 1. Построить вспомогательную плоскость, содержащую прямую $SK$, например, $(SAK)$. 2. Найти линию пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(SAK)$. Этой линией будет прямая $PT$, где $T$ — точка пересечения прямой $AK$ с прямой $M_1M_2$ (а $M_1 = PQ \cap AB$, $M_2 = PR \cap AC$). 3. Искомая точка $X$ является точкой пересечения прямых $SK$ и $PT$.