Номер 95, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

95. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. Параллельные прямые $a$ и $b$ лежат в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Верно ли, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$?

Для ответа на этот вопрос проанализируем данные условия и воспользуемся теоремами стереометрии. Утверждение, которое нужно проверить: $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

Докажем сначала, что $a \parallel c$.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна прямой $c$. Поскольку обе прямые, $a$ и $c$, лежат в одной плоскости $\alpha$, они должны пересекаться в некоторой точке $M$.

Итак, пусть $a \cap c = M$.

Так как точка $M$ принадлежит прямой $c$, а прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ ($c = \alpha \cap \beta$), то точка $M$ принадлежит обеим плоскостям, в частности, $M \in \beta$.

Теперь рассмотрим прямые $a$ и $b$. Нам дано, что $a \parallel b$. Также нам известно, что $b \subset \beta$ и мы установили, что прямая $a$ имеет общую точку $M$ с плоскостью $\beta$.

Существует теорема: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Другое важное свойство: если прямая $a$ параллельна прямой $b$, лежащей в плоскости $\beta$, то прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$, либо сама лежит в плоскости $\beta$. Так как прямая $a$ имеет общую точку $M$ с плоскостью $\beta$, она не может быть ей параллельна. Следовательно, прямая $a$ должна лежать в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Мы получили, что прямая $a$ лежит и в плоскости $\alpha$ (по условию), и в плоскости $\beta$ (по нашему выводу). Если прямая принадлежит двум различным пересекающимся плоскостям, то она является линией их пересечения. Таким образом, $a = c$.

Это противоречит нашему начальному предположению, что $a$ не параллельна $c$ (так как прямая считается параллельной самой себе). Следовательно, наше предположение было неверным, и прямая $a$ параллельна прямой $c$.

Итак, мы доказали, что $a \parallel c$.

Теперь докажем, что $b \parallel c$.

Нам дано по условию, что $a \parallel b$. Мы только что доказали, что $a \parallel c$.

По свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, если две прямые ($b$ и $c$) параллельны третьей прямой ($a$), то они параллельны между собой. Отсюда следует, что $b \parallel c$.

Таким образом, оба условия ($a \parallel c$ и $b \parallel c$) выполняются.

Ответ: Да, верно.