Номер 94, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

94. Верно ли, что все прямые, пересекающие одну из скрещивающихся прямых и параллельные другой, лежат в одной плоскости?

Да, утверждение верно. Приведем доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые, назовем их $a$ и $b$. Рассмотрим множество прямых, удовлетворяющих условию: каждая такая прямая пересекает прямую $a$ и параллельна прямой $b$.

Построим плоскость $\alpha$ следующим образом. Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $A$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку $A$ можно провести единственную прямую, параллельную прямой $b$. Назовем эту прямую $b'$. Так как исходные прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то $a$ не параллельна $b$ и не пересекает $b$. Это означает, что прямая $b'$ не совпадает с прямой $a$, а пересекает ее в точке $A$.

Через две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$. Также она содержит прямую $b'$, параллельную прямой $b$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($b$), не лежащая в плоскости ($\alpha$), параллельна некоторой прямой ($b'$) в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Прямая $b$ не лежит в $\alpha$, иначе $a$ и $b$ были бы компланарны (лежали в одной плоскости), что противоречит условию их скрещивания. Таким образом, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($b \parallel \alpha$). Эта плоскость, проходящая через прямую $a$ и параллельная прямой $b$, является единственной.

Теперь докажем, что любая прямая, удовлетворяющая условию задачи, лежит в этой плоскости $\alpha$. Возьмем произвольную прямую $c$, которая пересекает прямую $a$ и параллельна прямой $b$. Пусть точка пересечения прямых $c$ и $a$ будет $C$. Нам известно, что $c \parallel b$ и $b \parallel \alpha$. Согласно теореме стереометрии, если прямая ($c$) параллельна некоторой прямой ($b$), параллельной плоскости ($\alpha$), то прямая $c$ либо параллельна этой плоскости (т.е. не имеет с ней общих точек), либо лежит в этой плоскости.

Поскольку прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $C$, а прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то точка $C$ принадлежит как прямой $c$, так и плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $c$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку. Это исключает возможность того, что прямая $c$ параллельна плоскости $\alpha$ и не пересекает ее.

Таким образом, остается единственно верный вывод: прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $c$ была выбрана произвольно, это означает, что все прямые, пересекающие прямую $a$ и параллельные прямой $b$, лежат в одной и той же единственной плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, верно.