Номер 99, страница 18 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

99. Точки $P, Q$ и $M$ - середины соответственно ребер $AB, AD$ и отрезка $A_1B$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $PQM$, учитывая, что прямые $CC_1$ и $BD$ перпендикулярны, $AB = 10, AD = 16, \angle BAD = 60^\circ$ и $CC_1 = 6$.

Для решения задачи построим сечение и определим его свойства, используя векторы. Пусть начало координат находится в точке $A$. Тогда положение точек параллелепипеда можно описать векторами.

1. Построение и анализ сечения.

Точки $P$, $Q$ и $M$ являются серединами ребер $AB$, $AD$ и отрезка $A_1B$ соответственно. Их радиус-векторы можно выразить через векторы ребер $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$:

• $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB}$
• $\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AD}$
• $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AA_1} + \vec{AB})$

Секущая плоскость проходит через точки $P, Q, M$. Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{BD}$

$\vec{PM} = \vec{AM} - \vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{AA_1} + \vec{AB}) - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$

Из второго равенства следует, что вектор $\vec{PM}$ коллинеарен вектору $\vec{AA_1}$. Это означает, что секущая плоскость $PQM$ параллельна боковому ребру $AA_1$ (а следовательно, и всем боковым ребрам параллелепипеда $BB_1, CC_1, DD_1$).

Так как плоскость сечения параллельна боковым ребрам, ее пересечение с боковыми гранями будут отрезками, параллельными этим ребрам. Построим сечение:

1. В плоскости основания $ABCD$ лежит отрезок $PQ$.
2. Из точки $P$ на ребре $AB$ проведем в грани $ABB_1A_1$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $A_1B_1$ в точке $K$. Так как $P$ — середина $AB$, то $K$ — середина $A_1B_1$.
3. Из точки $Q$ на ребре $AD$ проведем в грани $ADD_1A_1$ прямую, параллельную $AA_1$, до пересечения с ребром $A_1D_1$ в точке $N$. Так как $Q$ — середина $AD$, то $N$ — середина $A_1D_1$.
4. Соединим точки $K$ и $N$, лежащие в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $KN$ является средней линией треугольника $A_1B_1D_1$, поэтому $KN \parallel B_1D_1$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $PQNK$.

2. Определение формы и размеров сечения.

Выясним, что представляет собой четырехугольник $PQNK$.

• По построению $PK \parallel AA_1$ и $QN \parallel AA_1$, следовательно, $PK \parallel QN$.
• $PQ$ — средняя линия $\triangle ABD$, поэтому $PQ \parallel BD$. $KN$ — средняя линия $\triangle A_1B_1D_1$, поэтому $KN \parallel B_1D_1$. Так как в параллелепипеде $BD \parallel B_1D_1$, то $PQ \parallel KN$.

Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $PQNK$ попарно параллельны, он является параллелограммом.

Найдем длины его сторон:

Сторона $PK$ параллельна и равна отрезку, соединяющему середины сторон $AB$ и $A_1B_1$ в грани $ABB_1A_1$. Однако из нашего векторного анализа $\vec{PM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$, а точка $M$ лежит на плоскости сечения. Более того, $\vec{PK} = \vec{PA} + \vec{AA_1} + \vec{A_1K} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{A_1B_1} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{AA_1}$.

Следовательно, длина стороны $PK$ равна длине бокового ребра: $PK = AA_1 = CC_1 = 6$.

Длина стороны $PQ$ равна половине диагонали $BD$ основания. Найдем $BD$ из треугольника $ABD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

$BD^2 = 10^2 + 16^2 - 2 \cdot 10 \cdot 16 \cdot \cos(60^\circ) = 100 + 256 - 320 \cdot \frac{1}{2} = 356 - 160 = 196$

$BD = \sqrt{196} = 14$.

Тогда $PQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$.

3. Вычисление площади сечения.

Площадь параллелограмма $PQNK$ можно найти как произведение длин смежных сторон на синус угла между ними. Угол между сторонами $PK$ и $PQ$ равен углу между векторами $\vec{PK}$ и $\vec{PQ}$.

Мы установили, что $\vec{PK} = \vec{AA_1}$ и $\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.

По условию задачи прямые $CC_1$ и $BD$ перпендикулярны. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ также перпендикулярна прямой $BD$. Это означает, что угол между векторами $\vec{AA_1}$ и $\vec{BD}$ равен $90^\circ$.

Таким образом, угол между сторонами $PK$ и $PQ$ сечения равен $90^\circ$, и параллелограмм $PQNK$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{PQNK} = PK \cdot PQ = 6 \cdot 7 = 42$.

Ответ: 42.