Номер 106, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

106. Плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$.
Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не пересекаются. Это означает, что они параллельны, то есть $\alpha \parallel \beta$.

Из условия задачи известно, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Согласно определению и признаку параллельности прямой и плоскости, в плоскости $\alpha$ найдется прямая $b$, которая параллельна прямой $a$ ($b \subset \alpha$, $b \parallel a$).

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они задают единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. Таким образом, прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$, $b \subset \gamma$).

Рассмотрим плоскость $\gamma$, которая пересекает две параллельные (согласно нашему предположению) плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны друг другу.

Линией пересечения плоскостей $\gamma$ и $\alpha$ является прямая $b$, так как $b \subset \gamma$ и $b \subset \alpha$.

Пусть линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$ — это прямая $c$.

Тогда, согласно свойству, должно выполняться условие $b \parallel c$.

Мы знаем, что $a \parallel b$ (по построению) и $b \parallel c$ (как следствие нашего предположения). Из свойства транзитивности параллельности прямых следует, что $a \parallel c$.

Теперь вернемся к условию задачи. Плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$. Обозначим их точку пересечения буквой $M$. Это означает, что точка $M$ принадлежит одновременно и прямой $a$, и плоскости $\beta$: $M \in a$ и $M \in \beta$.

Поскольку точка $M$ лежит на прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$, то точка $M$ также принадлежит и плоскости $\gamma$ ($M \in \gamma$).

Итак, точка $M$ принадлежит и плоскости $\beta$, и плоскости $\gamma$. Следовательно, она должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $c$. Таким образом, $M \in c$.

В результате мы получили, что прямые $a$ и $c$ имеют общую точку $M$. Однако ранее мы вывели, что $a \parallel c$. Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают ($a = c$). Но если $a=c$, то это означает, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$ (так как $c \subset \beta$). Это противоречит условию, что плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$, что обычно подразумевает пересечение в одной-единственной точке. Если же прямые $a$ и $c$ различны, то они не могут быть параллельными и одновременно иметь общую точку.

Полученное противоречие показывает, что наше первоначальное предположение о параллельности плоскостей $\alpha$ и $\beta$ было неверным. Следовательно, они должны пересекаться.

Ответ: Утверждение, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, доказано.