Номер 113, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

113. Точки $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$ отмечены в плоскости $\alpha$, а точки $K$ и $K_1$ — вне плоскости $\alpha$. При этом $KA \parallel K_1A_1$, $KB \parallel K_1B_1$. Докажите, что прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны или совпадают.

Рассмотрим две плоскости: плоскость $\beta$, проходящую через точки K, A и B, и плоскость $\gamma$, проходящую через точки K₁, A₁ и B₁.

Поскольку прямые KA и KB пересекаются в точке K (так как K, A, B не лежат на одной прямой, иначе задача вырождается), они определяют единственную плоскость $\beta = (KAB)$. Аналогично, прямые K₁A₁ и K₁B₁ пересекаются в точке K₁ и определяют единственную плоскость $\gamma = (K_1A_1B_1)$.

По условию задачи нам дано, что прямая KA параллельна прямой K₁A₁ ($KA \parallel K_1A_1$), и прямая KB параллельна прямой K₁B₁ ($KB \parallel K_1B_1$).

Применим признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

В нашем случае, пересекающиеся прямые KA и KB в плоскости $\beta$ соответственно параллельны пересекающимся прямым K₁A₁ и K₁B₁ в плоскости $\gamma$. Следовательно, плоскости $\beta$ и $\gamma$ параллельны: $(KAB) \parallel (K_1A_1B_1)$.

Далее, рассмотрим плоскость $\alpha$. По условию, точки A, A₁, B, B₁ лежат в этой плоскости. Это означает, что прямая AB, проходящая через точки A и B, целиком лежит в плоскости $\alpha$. Также и прямая A₁B₁, проходящая через точки A₁ и B₁, целиком лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, плоскость $\alpha$ пересекает обе параллельные плоскости $(KAB)$ и $(K_1A_1B_1)$.

• Линией пересечения плоскостей $(KAB)$ и $\alpha$ является прямая AB.
• Линией пересечения плоскостей $(K_1A_1B_1)$ и $\alpha$ является прямая A₁B₁.

Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Поскольку параллельные плоскости $(KAB)$ и $(K_1A_1B_1)$ пересекаются плоскостью $\alpha$, то линии их пересечения — прямые AB и A₁B₁ — должны быть параллельны.

Так как обе прямые AB и A₁B₁ лежат в одной плоскости $\alpha$, их параллельность означает, что они либо не имеют общих точек (собственно параллельны), либо совпадают. Таким образом, прямые AB и A₁B₁ параллельны или совпадают, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании признака параллельности плоскостей, плоскости (KAB) и (K₁A₁B₁) параллельны. Прямые AB и A₁B₁ являются линиями пересечения этих параллельных плоскостей с третьей плоскостью α, следовательно, по свойству параллельных плоскостей, прямые AB и A₁B₁ параллельны. Так как они лежат в одной плоскости α, они либо параллельны, либо совпадают.