Номер 120, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

120. Точка $K$ лежит в грани $ACC_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, точка $N$ — на ребре $AC$ (рис. 52). Плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ параллельно плоскости $NBB_1$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABB_1$.

Рис. 52

Для построения искомой линии пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ABB_1$ необходимо выполнить последовательные шаги, основываясь на свойствах параллельности плоскостей и прямых.

1. Сначала найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ACC_1A_1$, в которой лежит точка $K$. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(NBB_1)$. Это означает, что $\alpha$ параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $(NBB_1)$, в частности, прямой $BB_1$. Так как в призме боковые ребра параллельны ($BB_1 \parallel CC_1$), то и $\alpha \parallel CC_1$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ACC_1A_1)$ будет проходить через их общую точку $K$ и будет параллельна прямой $CC_1$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $CC_1$. Пусть эта прямая пересекает ребро основания $AC$ в точке $M$.

2. Теперь найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью основания $ABC$. Точка $M$, полученная на предыдущем шаге, лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $(ABC)$, следовательно, она является их общей точкой. Прямая $NB$ лежит в плоскости $(NBB_1)$, которой параллельна плоскость $\alpha$. Следовательно, $\alpha \parallel NB$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABC)$ должна проходить через их общую точку $M$ и быть параллельной прямой $NB$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $NB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AB$ в точке $P$.

3. Наконец, построим искомую линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$. Точка $P$, полученная на предыдущем шаге, лежит на ребре $AB$ и, следовательно, в плоскости $(ABB_1A_1)$. Также по построению точка $P$ принадлежит плоскости $\alpha$. Значит, $P$ – общая точка этих двух плоскостей. Как было установлено в первом шаге, $\alpha \parallel BB_1$. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABB_1A_1)$ должна проходить через их общую точку $P$ и быть параллельной прямой $BB_1$. Проведем через точку $P$ прямую в плоскости $(ABB_1A_1)$ параллельно ребру $BB_1$ (или $AA_1$). Эта прямая и есть искомая линия пересечения.

Визуализация всего процесса построения представлена на рисунке ниже. Синими пунктирными линиями показаны вспомогательные построения, а красной сплошной линией – искомая линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABB_1A_1$.

Ответ: Искомая линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABB_1$ — это прямая, проходящая через точку $P$ на ребре $AB$ и параллельная боковому ребру $AA_1$. Точка $P$ строится последовательно: 1) через точку $K$ проводится прямая, параллельная ребру $CC_1$, до пересечения с ребром $AC$ в точке $M$; 2) через точку $M$ проводится прямая, параллельная отрезку $NB$, до пересечения с ребром $AB$ в точке $P$.