Номер 122, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

122. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, их концы $A$ и $D$ лежат в одной из параллельных плоскостей, а $B$ и $C$ — в другой (рис. 54).

Докажите, что $AK : AB = DK : CD$.

Рис. 54

1. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, следовательно, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\gamma$.

2. Точки $A$ и $D$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. Так как точки $A$ и $D$ также лежат в плоскости $\gamma$ (по построению), то вся прямая $AD$ лежит в обеих плоскостях. Таким образом, прямая $AD$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$.

3. Аналогично, точки $B$ и $C$ по условию лежат в плоскости $\beta$, а также в плоскости $\gamma$. Следовательно, прямая $BC$ является линией пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$.

4. По условию задачи плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае плоскость $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $AD$ и $BC$ соответственно. Отсюда следует, что $AD \parallel BC$.

5. Рассмотрим треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$. В этих треугольниках:
- $\angle AKD = \angle BKC$ (как вертикальные углы).
- $\angle KAD = \angle KBC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$).

6. Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle AKD$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle BKC$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

7. Из подобия треугольников $\triangle AKD \sim \triangle BKC$ следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{AK}{BK} = \frac{DK}{CK} $$

8. Преобразуем полученную пропорцию. Сначала перевернем дроби:$$ \frac{BK}{AK} = \frac{CK}{DK} $$Прибавим к обеим частям равенства единицу:$$ \frac{BK}{AK} + 1 = \frac{CK}{DK} + 1 $$Приведем к общему знаменателю:$$ \frac{BK + AK}{AK} = \frac{CK + DK}{DK} $$Так как $BK + AK = AB$ и $CK + DK = CD$ (поскольку точка $K$ лежит между точками $A, B$ и $C, D$), получаем:$$ \frac{AB}{AK} = \frac{CD}{DK} $$Перевернув эту пропорцию, получим искомое соотношение:$$ \frac{AK}{AB} = \frac{DK}{CD} $$Это равенство можно записать в виде $AK : AB = DK : CD$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $AK : AB = DK : CD$ доказано.