Номер 118, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

118. Концы отрезков $AB$ и $CD$ находятся в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ (рис. 51). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линии пересечения плоскостей:

а) $\alpha$ и $ABD$;

б) $\beta$ и $ACD$.

Рис. 51

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

а) Найдём линию пересечения плоскостей $α$ и $ABD$.

1. Точка $A$ принадлежит плоскости $α$ по условию. Также точка $A$ принадлежит плоскости $ABD$ (по определению этой плоскости). Следовательно, точка $A$ является общей точкой для обеих плоскостей и лежит на их линии пересечения.

2. Точки $B$ и $D$ принадлежат плоскости $β$ по условию. Это означает, что прямая $BD$ целиком лежит в плоскости $β$.

3. Плоскость $ABD$ пересекает плоскость $β$ по прямой $BD$.

4. Поскольку плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$), а плоскость $ABD$ пересекает их обе, то линии пересечения плоскости $ABD$ с плоскостями $α$ и $β$ должны быть параллельны. Линия пересечения с плоскостью $β$ — это прямая $BD$.

5. Таким образом, линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $α$ — это прямая, проходящая через общую точку $A$ и параллельная прямой $BD$.

Для построения нужно в плоскости $α$ провести прямую через точку $A$ параллельно прямой $BD$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $α$ и $ABD$ — это прямая, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $BD$.

б) Найдём линию пересечения плоскостей $β$ и $ACD$.

1. Точка $D$ принадлежит плоскости $β$ по условию. Также точка $D$ принадлежит плоскости $ACD$. Следовательно, точка $D$ является общей точкой для обеих плоскостей и лежит на их линии пересечения.

2. Точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $α$ по условию. Это означает, что прямая $AC$ целиком лежит в плоскости $α$.

3. Плоскость $ACD$ пересекает плоскость $α$ по прямой $AC$.

4. Так как плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$), а плоскость $ACD$ пересекает их обе, то линии пересечения плоскости $ACD$ с плоскостями $α$ и $β$ должны быть параллельны. Линия пересечения с плоскостью $α$ — это прямая $AC$.

5. Таким образом, линия пересечения плоскости $ACD$ с плоскостью $β$ — это прямая, проходящая через общую точку $D$ и параллельная прямой $AC$.

Для построения нужно в плоскости $β$ провести прямую через точку $D$ параллельно прямой $AC$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $β$ и $ACD$ — это прямая, проходящая через точку $D$ и параллельная прямой $AC$.