Номер 119, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

119. Плоскости $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $ параллельны. Скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ пересекают их в точках $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$ соответственно.

При этом $A_2A_3 = 12$, $B_1B_2 = 9$, $A_1A_2 : B_2B_3 = 4 : 3$. Найдите длину отрезка:

a) $A_1A_3$;

б) $B_1B_3$.

Поскольку плоскости $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ параллельны, по обобщенной теореме Фалеса отрезки, отсекаемые ими на скрещивающихся прямых, пропорциональны. Это означает, что выполняется соотношение:

$\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3}$

Из условия задачи нам дано, что $A_1A_2 : B_2B_3 = 4 : 3$. Введем коэффициент пропорциональности $k$, тогда $A_1A_2 = 4k$ и $B_2B_3 = 3k$.

Подставим известные значения ($A_2A_3 = 12$, $B_1B_2 = 9$) и выражения с $k$ в нашу пропорцию:

$\frac{4k}{9} = \frac{12}{3k}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$4k \cdot 3k = 9 \cdot 12$

$12k^2 = 108$

$k^2 = \frac{108}{12}$

$k^2 = 9$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, $k = 3$.

Теперь найдем длины неизвестных отрезков:

$A_1A_2 = 4k = 4 \cdot 3 = 12$

$B_2B_3 = 3k = 3 \cdot 3 = 9$

Теперь мы можем найти длины искомых отрезков.

a) A₁A₃;

Длина отрезка $A_1A_3$ складывается из длин отрезков $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Точки $A_1, A_2, A_3$ лежат на одной прямой.

$A_1A_3 = A_1A_2 + A_2A_3 = 12 + 12 = 24$.

Ответ: 24.

б) B₁B₃;

Аналогично, длина отрезка $B_1B_3$ складывается из длин отрезков $B_1B_2$ и $B_2B_3$. Точки $B_1, B_2, B_3$ лежат на одной прямой.

$B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3 = 9 + 9 = 18$.

Ответ: 18.