Номер 126, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

126. На ребрах $AA_1$ и $BC$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ выбраны соответственно точки $P$ и $Q$, а на прямой $CC_1$ — точка $R$ так, что точка $C_1$ лежит между точками $R$ и $C$ (рис. 56). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линию пересечения плоскости $PQR$ с плоскостью:

а) $ABC$;

б) $A_1B_1C_1$;

в) $BCP$.

Рис. 56

а) ABC;

Для построения линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью основания $(ABC)$ найдем две их общие точки.
1. Точка $Q$ принадлежит ребру $BC$, которое лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, точка $Q$ принадлежит плоскости $(ABC)$. По условию, точка $Q$ также принадлежит плоскости $(PQR)$. Значит, $Q$ — первая общая точка.
2. Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямую $PR$, которая лежит в плоскости $(PQR)$. Точки $P$ и $R$ принадлежат плоскости боковой грани $(ACC_1A_1)$ (точка $P \in AA_1$, точка $R \in CC_1$). Следовательно, прямая $PR$ лежит в плоскости $(ACC_1A_1)$.
3. Плоскость $(ACC_1A_1)$ пересекается с плоскостью $(ABC)$ по прямой $AC$. Это значит, что прямая $PR$ пересечет плоскость $(ABC)$ в точке, где она пересекает прямую $AC$. Обозначим эту точку как $M$. Таким образом, $M = PR \cap AC$.
4. Точка $M$ принадлежит прямой $PR$ (и плоскости $(PQR)$) и прямой $AC$ (и плоскости $(ABC)$). Следовательно, $M$ — вторая общая точка.
Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, проходящая через две их общие точки. В данном случае это прямая $QM$.

Ответ: Прямая $QM$, где $M = PR \cap AC$.

б) A₁B₁C₁;

Для построения линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ также найдем две их общие точки.
1. Рассмотрим прямую $PR$, лежащую в плоскости $(PQR)$ и в плоскости $(ACC_1A_1)$. Плоскость $(ACC_1A_1)$ пересекается с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ по прямой $A_1C_1$. Точка их пересечения $K = PR \cap A_1C_1$ будет общей точкой для плоскостей $(PQR)$ и $(A_1B_1C_1)$.
2. Рассмотрим прямую $QR$, лежащую в плоскости $(PQR)$. Точки $Q$ и $R$ принадлежат плоскости боковой грани $(BCC_1B_1)$ (точка $Q \in BC$, точка $R \in CC_1$). Следовательно, прямая $QR$ лежит в плоскости $(BCC_1B_1)$.
3. Плоскость $(BCC_1B_1)$ пересекается с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ по прямой $B_1C_1$. Точка их пересечения $N = QR \cap B_1C_1$ будет второй общей точкой для плоскостей $(PQR)$ и $(A_1B_1C_1)$.
4. Искомая линия пересечения проходит через точки $K$ и $N$. Это прямая $KN$.
Примечание: Так как плоскости $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны, то линии их пересечения с секущей плоскостью $(PQR)$ также параллельны, то есть $KN \parallel QM$.

Ответ: Прямая $KN$, где $K = PR \cap A_1C_1$ и $N = QR \cap B_1C_1$.

в) BCP.

Найдем линию пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью $(BCP)$.
1. Точка $P$ по определению принадлежит плоскости $(PQR)$. Также точка $P$ является одной из точек, задающих плоскость $(BCP)$, поэтому $P \in (BCP)$. Следовательно, $P$ — общая точка этих плоскостей.
2. Точка $Q$ по определению принадлежит плоскости $(PQR)$. Точка $Q$ лежит на ребре $BC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости $(BCP)$, а значит, и точка $Q$ лежит в плоскости $(BCP)$. Следовательно, $Q$ — вторая общая точка этих плоскостей.
3. Линия пересечения двух плоскостей проходит через две их общие точки. Таким образом, линия пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(BCP)$ — это прямая $PQ$.

Ответ: Прямая $PQ$.