Номер 127, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

127. На ребрах $A_1B_1$ и $CD$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выбраны соответственно точки $P$ и $Q$, а в грани $ADA_1$ — точка $R$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линию пересечения плоскости $PQR$ с плоскостью:

а) $ABC$;

б) $A_1B_1C_1$;

в) $ADD_1$.

Для построения искомых линий пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостями граней призмы воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в нахождении двух общих точек для каждой пары пересекающихся плоскостей.

а) ABC

Для построения линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$ найдем две их общие точки.

1. Нахождение первой общей точки.
По условию, точка $Q$ лежит на ребре $CD$. Ребро $CD$ принадлежит плоскости основания $(ABC)$. Таким образом, точка $Q$ принадлежит одновременно и плоскости $(PQR)$, и плоскости $(ABC)$. Значит, $Q$ — первая точка искомой линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.
Чтобы найти вторую точку, необходимо построить пересечение какой-либо прямой, лежащей в плоскости $(PQR)$, с плоскостью $(ABC)$. Для этого удобно сначала построить след (линию пересечения) плоскости $(PQR)$ на одной из боковых граней, например, на грани $(ADD_1)$, так как на ней уже лежит точка $R$.

а) Построим прямую, по которой плоскость $(PQR)$ пересекает плоскость $(ADD_1)$. Точка $R$ уже является одной из точек этой прямой. Найдем вторую точку $T$, как точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $(ADD_1)$.
б) Прямая $PQ$ соединяет точки $P \in A_1B_1$ и $Q \in CD$. Поместим прямую $PQ$ во вспомогательную плоскость $(A_1B_1CD)$.
в) Найдем линию пересечения плоскостей $(A_1B_1CD)$ и $(ADD_1)$. Их общими точками являются $A_1$ и $D$, следовательно, они пересекаются по прямой $A_1D$.
г) Прямые $PQ$ и $A_1D$ лежат в одной плоскости $(A_1B_1CD)$ и (в общем случае) пересекаются. Точка их пересечения $T = PQ \cap A_1D$ принадлежит обеим плоскостям: $(PQR)$ (так как лежит на $PQ$) и $(ADD_1)$ (так как лежит на $A_1D$).
д) Таким образом, след плоскости $(PQR)$ на грани $(ADD_1)$ — это прямая $RT$.

3. Использование следа $RT$ для нахождения второй точки.
Теперь найдем точку пересечения прямой $RT$ (которая принадлежит $(PQR)$) с плоскостью $(ABC)$. Прямая $RT$ целиком лежит в плоскости $(ADD_1)$. Плоскость $(ADD_1)$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $AD$. Следовательно, точка пересечения прямой $RT$ и плоскости $(ABC)$ должна лежать на линии пересечения их содержащих плоскостей, то есть на прямой $AD$. Обозначим эту точку $S$.
Точка $S$ находится как пересечение прямых $RT$ и $AD$: $S = RT \cap AD$. Так как обе прямые лежат в плоскости $(ADD_1)$, они пересекаются. Точка $S$ является второй общей точкой плоскостей $(PQR)$ и $(ABC)$.

4. Построение искомой линии.
Линия пересечения плоскостей $(PQR)$ и $(ABC)$ проходит через найденные точки $Q$ и $S$.

Ответ: Искомая линия пересечения — прямая $QS$, где $T$ — точка пересечения прямых $PQ$ и $A_1D$, а $S$ — точка пересечения прямых $RT$ и $AD$.

б) A₁B₁C₁

Для построения линии пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ воспользуемся свойством параллельных плоскостей.

1. Нахождение одной общей точки.
По условию, точка $P$ лежит на ребре $A_1B_1$, которое принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$. Таким образом, точка $P$ принадлежит одновременно и плоскости $(PQR)$, и плоскости $(A_1B_1C_1)$. Значит, $P$ — одна из точек искомой линии пересечения.

2. Использование параллельности.
Плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны. Секущая плоскость $(PQR)$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с плоскостью $(ABC)$ — это прямая $QS$, построенная в пункте а).

3. Построение искомой линии.
Следовательно, искомая линия пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $QS$.

(Альтернативный способ)
Вторую общую точку $U$ можно найти, пересекая прямую $RT$ (из пункта а)) с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Так как $RT \subset (ADD_1)$, а $(ADD_1) \cap (A_1B_1C_1) = A_1D_1$, то $U = RT \cap A_1D_1$. Тогда искомая линия — это прямая $PU$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $QS$, построенной в пункте а). Эту прямую также можно определить как прямую $PU$, где $T = PQ \cap A_1D$ и $U = RT \cap A_1D_1$.

в) ADD₁

Линия пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью боковой грани $(ADD_1)$ была фактически найдена при решении пункта а).

1. Нахождение первой общей точки.
По условию, точка $R$ лежит в грани $(ADD_1)$, а также в секущей плоскости $(PQR)$. Следовательно, $R$ — первая общая точка.

2. Нахождение второй общей точки.
Найдем вторую общую точку $T$ как пересечение прямой $PQ$ (лежащей в $(PQR)$) с плоскостью $(ADD_1)$. Для этого, как и в пункте а), поместим прямую $PQ$ во вспомогательную плоскость $(A_1B_1CD)$. Эта плоскость пересекает $(ADD_1)$ по прямой $A_1D$. Точка пересечения прямых $PQ$ и $A_1D$ и есть искомая точка $T$.

3. Построение искомой линии.
Искомая линия пересечения проходит через найденные общие точки $R$ и $T$.

Ответ: Прямая $RT$, где $T$ — точка пересечения прямой $PQ$ с прямой $A_1D$.