Номер 128, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

128. В призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на отрезках $CC_1$, $AB_1$ и $BD_1$ выбраны соответственно точки $P$, $Q$ и $R$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте линию пересечения плоскости $PQR$ с плоскостью:

а) $ABC$;

б) $A_1B_1C_1$;

в) $ACC_1$.

Сначала построим изображение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Для удобства будем считать, что основание $ABCD$ — параллелограмм. Отметим точки $P$, $Q$ и $R$ на отрезках $CC_1$, $AB_1$ и $BD_1$ соответственно, как указано в условии. Далее построим линии пересечения плоскости $PQR$ с заданными плоскостями.

Чтобы построить линию пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Найдем точки пересечения прямых $PQ$ и $PR$ с плоскостью $(ABC)$.

1. Найдем точку $X_1$ — точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $(ABC)$.

   • Для этого воспользуемся вспомогательной плоскостью. Рассмотрим плоскость, проходящую через точку $P$ и прямую $AB_1$ (которая содержит точку $Q$). Это плоскость $(PAB_1)$.

   • Найдем линию пересечения плоскости $(PAB_1)$ с плоскостью $(ABC)$. Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям. Найдем вторую общую точку. Для этого найдем точку пересечения прямой $PB_1$ с плоскостью $(ABC)$.

   • Прямая $PB_1$ лежит в плоскости боковой грани $(BCC_1B_1)$. Плоскость $(BCC_1B_1)$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $BC$.

   • В плоскости $(BCC_1B_1)$ построим точку $K$ как пересечение прямых $PB_1$ и $BC$. Для этого нужно продлить отрезки $PB_1$ и $BC$ до их пересечения: $K = PB_1 \cap BC$.

   • Теперь у нас есть две точки, $A$ и $K$, принадлежащие и плоскости $(PAB_1)$, и плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $AK$ является линией их пересечения.

   • Прямая $PQ$ лежит в плоскости $(PAB_1)$. Значит, ее точка пересечения с плоскостью $(ABC)$ лежит на прямой $AK$. Таким образом, искомая точка $X_1$ — это точка пересечения прямых $PQ$ и $AK$. Строим $X_1 = PQ \cap AK$.

2. Аналогично найдем точку $X_2$ — точку пересечения прямой $PR$ с плоскостью $(ABC)$.

   • Рассмотрим вспомогательную плоскость $(PBD_1)$, которая проходит через точку $P$ и прямую $BD_1$ (содержащую точку $R$).

   • Найдем линию пересечения плоскости $(PBD_1)$ с плоскостью $(ABC)$. Точка $B$ является общей. Найдем вторую точку, для чего определим точку пересечения прямой $PD_1$ с плоскостью $(ABC)$.

   • Прямая $PD_1$ лежит в плоскости боковой грани $(DCC_1D_1)$. Эта плоскость пересекает $(ABC)$ по прямой $DC$.

   • В плоскости $(DCC_1D_1)$ построим точку $L$ как пересечение прямых $PD_1$ и $DC$: $L = PD_1 \cap DC$.

   • Прямая $BL$ является линией пересечения плоскостей $(PBD_1)$ и $(ABC)$.

   • Прямая $PR$ лежит в плоскости $(PBD_1)$, поэтому ее точка пересечения с $(ABC)$ лежит на прямой $BL$. Строим $X_2 = PR \cap BL$.

3. Точки $X_1$ и $X_2$ принадлежат как плоскости $(PQR)$, так и плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $X_1X_2$ является линией их пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая $X_1X_2$, где $X_1$ и $X_2$ построены указанным выше способом.

Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Если плоскость $(PQR)$ пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Поэтому линия пересечения $(PQR)$ и $(A_1B_1C_1)$ будет параллельна прямой $X_1X_2$, найденной в пункте а).

Для построения этой прямой достаточно найти одну ее точку, а затем провести через нее прямую, параллельную $X_1X_2$.

1. Найдем точку $Y_1$ — точку пересечения прямой $PQ$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

   • Снова воспользуемся вспомогательной плоскостью $(PAB_1)$.

   • Найдем линию пересечения плоскости $(PAB_1)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Точка $B_1$ принадлежит обеим плоскостям. Найдем вторую общую точку как пересечение прямой $PA$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$.

   • Прямая $PA$ лежит в плоскости диагонального сечения $(ACC_1A_1)$. Эта плоскость пересекает $(A_1B_1C_1)$ по прямой $A_1C_1$.

   • В плоскости $(ACC_1A_1)$ построим точку $M = PA \cap A_1C_1$.

   • Прямая $MB_1$ является линией пересечения плоскостей $(PAB_1)$ и $(A_1B_1C_1)$.

   • Прямая $PQ$ лежит в плоскости $(PAB_1)$, поэтому ее точка пересечения с $(A_1B_1C_1)$ лежит на прямой $MB_1$. Строим $Y_1 = PQ \cap MB_1$.

2. Искомая линия пересечения проходит через точку $Y_1$ и параллельна прямой $X_1X_2$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через построенную точку $Y_1$ параллельно прямой $X_1X_2$.

Чтобы построить линию пересечения плоскости $(PQR)$ с плоскостью диагонального сечения $(ACC_1)$, также найдем две их общие точки.

1. Первая точка уже известна. Точка $P$ лежит на ребре $CC_1$, которое, в свою очередь, лежит в плоскости $(ACC_1)$. Таким образом, $P$ является общей точкой плоскостей $(PQR)$ и $(ACC_1)$.

2. Найдем вторую общую точку. Эта точка должна лежать на пересечении трех плоскостей: $(PQR)$, $(ABC)$ и $(ACC_1)$.

   • Линия пересечения $(PQR) \cap (ABC)$ — это прямая $X_1X_2$, построенная в пункте а).

   • Линия пересечения $(ACC_1) \cap (ABC)$ — это прямая $AC$.

   • Точка пересечения этих двух прямых будет принадлежать всем трем плоскостям. Обозначим эту точку $T_1 = X_1X_2 \cap AC$. Эта точка строится в плоскости основания $(ABC)$.

3. Поскольку точки $P$ и $T_1$ принадлежат и плоскости $(PQR)$, и плоскости $(ACC_1)$, то прямая $PT_1$ является линией их пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая $PT_1$, где $T_1$ — точка пересечения прямой $X_1X_2$ (найденной в пункте а)) с диагональю $AC$ основания.