Номер 123, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

123. В правильной треугольной призме боковое ребро равно $l$, а ребро основания — $a$. Найдите площадь сечения, проходящего через диагональ одной боковой грани параллельно диагонали другой грани, скрещивающейся с выбранной.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники со стороной $a$. Боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ равны $l$ и перпендикулярны основаниям.

Требуется найти площадь сечения, проходящего через диагональ одной боковой грани параллельно диагонали другой боковой грани, скрещивающейся с выбранной.

Выберем в качестве диагонали одной боковой грани диагональ $AB_1$ грани $ABB_1A_1$. В качестве скрещивающейся с ней диагонали другой боковой грани выберем диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$.

Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $AB_1$ и параллельна прямой $BC_1$. Чтобы построить такую плоскость, нужно найти её точки пересечения с рёбрами призмы.

Пусть точка $D$ — середина ребра $A_1C_1$. Покажем, что плоскость, проходящая через точки $A$, $B_1$ и $D$, параллельна прямой $BC_1$. Для этого воспользуемся векторами. Введём систему координат с началом в точке $A$, ось $x$ направим вдоль $AB$, ось $z$ — вдоль $AA_1$. Тогда вершины призмы имеют координаты:$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$,$A_1(0, 0, l)$, $B_1(a, 0, l)$, $C_1(a/2, a\sqrt{3}/2, l)$.

Точка $D$ как середина $A_1C_1$ имеет координаты: $D(\frac{0+a/2}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}, \frac{l+l}{2}) = (a/4, a\sqrt{3}/4, l)$.

Найдём векторы, задающие плоскость сечения $AB_1D$ и вектор направления прямой $BC_1$:$\vec{AB_1} = (a, 0, l)$$\vec{AD} = (a/4, a\sqrt{3}/4, l)$$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, l - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, l)$

Прямая $BC_1$ параллельна плоскости $AB_1D$ тогда и только тогда, когда вектор $\vec{BC_1}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD}$, то есть $\vec{BC_1} = k_1\vec{AB_1} + k_2\vec{AD}$. Составим систему уравнений для компонент векторов:$\begin{cases} -a/2 = k_1a + k_2a/4 \\ a\sqrt{3}/2 = k_1 \cdot 0 + k_2 a\sqrt{3}/4 \\ l = k_1l + k_2l \end{cases}$Из второго уравнения получаем $k_2=2$. Подставляя в третье, находим $1 = k_1 + 2$, откуда $k_1 = -1$. Проверим первое уравнение: $-1 \cdot a + 2 \cdot a/4 = -a + a/2 = -a/2$. Равенство верно.

Таким образом, вектор $\vec{BC_1}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD}$ (конкретно, $\vec{BC_1} = 2\vec{AD} - \vec{AB_1}$), что доказывает параллельность прямой $BC_1$ плоскости $AB_1D$. Следовательно, искомым сечением является треугольник $AB_1D$.

Для вычисления площади треугольника $AB_1D$ найдём длины его сторон.

1. Сторона $AB_1$ — диагональ прямоугольника $ABB_1A_1$ со сторонами $a$ и $l$. По теореме Пифагора:$|AB_1| = \sqrt{|AB|^2 + |BB_1|^2} = \sqrt{a^2 + l^2}$.
2. Сторона $B_1D$. Точки $B_1$ и $D$ лежат в плоскости верхнего основания. $D$ — середина $A_1C_1$, поэтому $B_1D$ — медиана равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$. Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.$|B_1D| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
3. Сторона $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1D$ (угол $AA_1D$ прямой, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания). Катет $AA_1=l$. Катет $A_1D$ — половина стороны $A_1C_1$, то есть $|A_1D| = a/2$. По теореме Пифагора:$|AD| = \sqrt{|AA_1|^2 + |A_1D|^2} = \sqrt{l^2 + (a/2)^2} = \sqrt{l^2 + a^2/4}$.

Проверим, является ли треугольник $AB_1D$ прямоугольным. Для этого сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:$|AD|^2 + |B_1D|^2 = (l^2 + a^2/4) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = l^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = l^2 + a^2$.$|AB_1|^2 = a^2 + l^2$.

Так как $|AD|^2 + |B_1D|^2 = |AB_1|^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $AB_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{AB_1D} = \frac{1}{2} |AD| \cdot |B_1D| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{l^2 + \frac{a^2}{4}} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{4l^2+a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{8}\sqrt{4l^2+a^2}$.

Ответ: $S = \frac{a\sqrt{3}}{8}\sqrt{a^2+4l^2}$.