Номер 121, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

121. Точка $M$ лежит в грани $AA_1B$ четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка $N$ –

на ребре $AD$ (рис. 53). Плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ параллельно плоскости $NCC_1$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте след плоскости $\alpha$ на плоскости $AA_1D_1$.

Рис. 53

Для построения следа (линии пересечения) плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $AA_1D_1$, выполним следующие шаги, основанные на свойствах параллельных плоскостей и прямых.

1. Определение направления искомого следа

По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $NCC_1$. Это означает, что плоскость $\alpha$ параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $NCC_1$. В частности, $\alpha \parallel CC_1$.

В любой призме боковые ребра параллельны, то есть $AA_1 \parallel DD_1 \parallel CC_1$. Прямая $DD_1$ лежит в плоскости $AA_1D_1$, следовательно, прямая $CC_1$ параллельна плоскости $AA_1D_1$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($CC_1$), то линия ее пересечения с плоскостью ($AA_1D_1$), которой параллельна эта прямая, также будет параллельна этой прямой. Следовательно, искомый след — это прямая, параллельная $CC_1$, а значит, и ребрам $AA_1$ и $DD_1$.

2. Построение точки, принадлежащей следу

Чтобы построить прямую, нам нужно найти одну ее точку. Найдем точку $K$, которая принадлежит одновременно плоскости $\alpha$ и плоскости $AA_1D_1$. Для этого воспользуемся методом следов.

a) Найдем след плоскости $\alpha$ на плоскости нижнего основания $ABCD$. Этот след представляет собой прямую. Чтобы ее построить, найдем одну ее точку и определим направление.

b) Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ и в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную боковому ребру $AA_1$. Так как $\alpha \parallel AA_1$, эта прямая целиком лежит в плоскости $\alpha$. Пусть она пересекает ребро $AB$ в точке $P$. Точка $P$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости основания $ABCD$.

c) Направление следа на плоскости основания определяется из условия параллельности плоскостей $\alpha$ и $NCC_1$. При пересечении этих двух параллельных плоскостей третьей плоскостью ($ABCD$) линии их пересечения будут параллельны. Линия пересечения плоскости $NCC_1$ с плоскостью $ABCD$ — это прямая $NC$. Следовательно, след плоскости $\alpha$ на плоскости $ABCD$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $NC$.

d) Проведем в плоскости основания прямую через точку $P$ параллельно $NC$. Точка пересечения этой прямой с прямой $AD$ и будет искомой точкой $K$. Стоит отметить, что в общем случае точка $K$ может лежать на продолжении отрезка $AD$, а не на самом отрезке. Точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ (так как лежит на ее следе в основании) и плоскости $AA_1D_1$ (так как лежит на прямой $AD$).

3. Построение искомого следа

Мы установили, что искомый след проходит через точку $K$ и параллелен ребру $AA_1$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $AA_1$. Эта прямая и является следом плоскости $\alpha$ на плоскости $AA_1D_1$. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой $A_1D_1$ как $H$.

На рисунке ниже показан ход построений.

Ответ: След плоскости $\alpha$ на плоскости $AA_1D_1$ — это прямая $KH$, проходящая через точку $K$ на прямой $AD$ и точку $H$ на прямой $A_1D_1$ так, что $KH \parallel AA_1$. Точка $K$ строится как пересечение прямой $AD$ с прямой, проведенной в плоскости основания через точку $P$ параллельно $NC$, где $P$ — точка пересечения ребра $AB$ с прямой, проведенной через $M$ параллельно $AA_1$.