Номер 125, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

125. Точки $P$ и $Q$ отмечены на ребрах $AA_1$ и $BB_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$, а точка $R$ — на прямой $CC_1$ так, что точка $C$ лежит между точками $C_1$ и $R$. Сделайте в тетради соответствующий рисунок и постройте линию пересечения плоскости $PQR$ с плоскостью:

а) $ABB_1$;

б) $ABC$;

в) $A_1B_1C_1$.

Для построения линий пересечения секущей плоскости $PQR$ с плоскостями граней и оснований призмы будем использовать метод следов. Суть метода заключается в нахождении точек пересечения прямых, лежащих в секущей плоскости (например, $PQ$, $QR$, $PR$), с прямыми, лежащими в плоскостях граней призмы. Две такие точки, найденные для одной грани, определяют линию пересечения (след) секущей плоскости на этой грани.

Сделаем соответствующий рисунок. Построим призму $ABCA_1B_1C_1$. Отметим точку $P$ на ребре $AA_1$, точку $Q$ — на ребре $BB_1$. Продлим ребро $CC_1$ за точку $C$ и отметим на этом продолжении точку $R$.

Плоскость $ABB_1$ является плоскостью боковой грани $ABB_1A_1$.

1. По условию, точка $P$ лежит на ребре $AA_1$. Так как ребро $AA_1$ принадлежит плоскости $ABB_1$, то и точка $P$ принадлежит этой плоскости.
2. Аналогично, точка $Q$ лежит на ребре $BB_1$, которое принадлежит плоскости $ABB_1$. Следовательно, точка $Q$ также принадлежит плоскости $ABB_1$.
3. Точки $P$ и $Q$ по определению принадлежат секущей плоскости $PQR$.
4. Поскольку обе точки $P$ и $Q$ принадлежат и плоскости $PQR$, и плоскости $ABB_1$, то прямая, проходящая через эти точки, является линией их пересечения.
Ответ: Прямая $PQ$.

Плоскость $ABC$ является плоскостью нижнего основания призмы. Чтобы построить линию пересечения, найдем две общие точки для плоскостей $PQR$ и $ABC$.

1. Рассмотрим прямые $PQ$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. В общем случае они не параллельны, а значит, пересекаются. Построим точку их пересечения, продлив соответствующие отрезки: $M = PQ \cap AB$.
2. Точка $M$ лежит на прямой $AB$, которая находится в плоскости $ABC$. Значит, $M \in (ABC)$.
3. Точка $M$ лежит на прямой $PQ$, которая находится в плоскости $PQR$. Значит, $M \in (PQR)$.
4. Таким образом, точка $M$ является одной из точек искомой линии пересечения.
5. Теперь рассмотрим прямые $QR$ и $BC$. Обе эти прямые лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. В общем случае они не параллельны. Построим точку их пересечения: $N = QR \cap BC$.
6. Точка $N$ лежит на прямой $BC$, а значит, $N \in (ABC)$.
7. Точка $N$ лежит на прямой $QR$, а значит, $N \in (PQR)$.
8. Таким образом, точка $N$ является второй точкой искомой линии пересечения.
9. Линия пересечения плоскостей $PQR$ и $ABC$ — это прямая, проходящая через построенные точки $M$ и $N$.
Ответ: Прямая $MN$, где $M$ — точка пересечения прямых $PQ$ и $AB$, а $N$ — точка пересечения прямых $QR$ и $BC$.

Плоскость $A_1B_1C_1$ является плоскостью верхнего основания призмы. Построение линии пересечения можно выполнить аналогично пункту б).

1. Рассмотрим прямые $PQ$ и $A_1B_1$. Обе прямые лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$ и в общем случае пересекаются. Обозначим точку их пересечения $M_1 = PQ \cap A_1B_1$.
2. Точка $M_1$ лежит на прямой $A_1B_1$, следовательно, $M_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$.
3. Точка $M_1$ лежит на прямой $PQ$, следовательно, $M_1$ принадлежит плоскости $PQR$.
4. Таким образом, $M_1$ — первая общая точка плоскостей $PQR$ и $A_1B_1C_1$.
5. Рассмотрим прямые $QR$ и $B_1C_1$. Обе прямые лежат в плоскости грани $BCC_1B_1$ и в общем случае пересекаются. Обозначим точку их пересечения $N_1 = QR \cap B_1C_1$.
6. Точка $N_1$ лежит на прямой $B_1C_1$, следовательно, $N_1$ принадлежит плоскости $A_1B_1C_1$.
7. Точка $N_1$ лежит на прямой $QR$, следовательно, $N_1$ принадлежит плоскости $PQR$.
8. Таким образом, $N_1$ — вторая общая точка искомой линии пересечения.
9. Линия пересечения плоскостей $PQR$ и $A_1B_1C_1$ — это прямая, проходящая через точки $M_1$ и $N_1$.
Примечание: так как плоскости оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$ параллельны, то линии их пересечения с секущей плоскостью $(PQR)$ также должны быть параллельны. Таким образом, построенная прямая $M_1N_1$ будет параллельна прямой $MN$ из пункта б).
Ответ: Прямая $M_1N_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых $PQ$ и $A_1B_1$, а $N_1$ — точка пересечения прямых $QR$ и $B_1C_1$.