Номер 114, страница 20 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

114. Точки $A$ и $A_1$ отмечены в плоскости $\alpha$, а точки $B$ и $B_1$ — в плоскости $\beta$, параллельной плоскости $\alpha$. Учитывая, что прямые $AB_1$ и $A_1B$ пересекаются в точке $K$, докажите, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны.

Поскольку прямые $AB_1$ и $A_1B$ пересекаются в точке $K$ по условию, через эти две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $γ$. Таким образом, все четыре точки $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ лежат в одной плоскости $γ$.

Рассмотрим пересечение этой плоскости $γ$ с данными плоскостями $α$ и $β$.

Точки $A$ и $A_1$ принадлежат плоскости $α$ (по условию) и одновременно принадлежат плоскости $γ$ (по построению). Следовательно, прямая $AA_1$, проходящая через эти две точки, является линией пересечения плоскостей $γ$ и $α$.

Аналогично, точки $B$ и $B_1$ принадлежат плоскости $β$ (по условию) и одновременно принадлежат плоскости $γ$ (по построению). Следовательно, прямая $BB_1$, проходящая через эти две точки, является линией пересечения плоскостей $γ$ и $β$.

По условию задачи, плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$). Существует теорема о пересечении двух параллельных плоскостей третьей: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

В нашем случае, параллельные плоскости $α$ и $β$ пересечены плоскостью $γ$. Линиями пересечения являются прямые $AA_1$ и $BB_1$. Согласно теореме, эти прямые должны быть параллельны.

Следовательно, $AA_1 \parallel BB_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.